[論文レビュー] Non-commutative quasi-Hamiltonian spaces

Michel Van den Bergh|ArXiv.org|Mar 10, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非可換な双対シンプレクティック代数を用いて、非可換な双ハミルトンG空間の類似物を導入し、非退化なハミルトン型二重双ポアソン代数と一対一対応を確立する。また、クイバー上の二重双ポアソン代数が非退化な双対シンプレクティック構造を生じることを証明し、表現空間と双モジュールを用いて、非可換な設定におけるシンプレクティック幾何学を一般化する。

ABSTRACT

In this paper we introduce non-commutative analogues for the quasi-Hamiltonian $G$-spaces introduced by Alekseev, Malkin and Meinrenken. We outline the connection with the non-commutative analogues of quasi-Poisson algebras which the author had introduced earlier.

研究の動機と目的

• コンツェビッチの哲学に従い、非可換代数の幾何的性質がその表現空間に反映される非可換微分幾何学の枠組みを構築すること。
• 元来可換であった準ハミルトンG空間の理論を、双シンプレクティック形式の乗法的類似物を用いて非可換代数へと拡張すること。
• 非退化なハミルトン型二重双ポアソン代数と双対シンプレクティック代数の間の正確な対応関係を確立し、古典的シンプレクティック対応を一般化すること。
• クイバーから生じるハミルトン型二重双ポアソン構造が非退化であることを示し、自然な双対シンプレクティック代数をもたらすこと。
• 表現空間上での非可換な古典的リーアルベイドロイドの一般化として「二重リーアルベイドロイド」の概念を導入すること。

提案手法

• 本稿は、代数上の双モジュール値微分形式を用いて、双シンプレクティック形式を備えた代数の非可換乗法的類似物として、双対シンプレクティック代数を定義する。
• 代数Aの双モジュールから、Rep(A,N)の座標環上の加群への関手(-)_Nを構成し、非可換対象を表現空間上の古典的幾何的対象に翻訳する。
• 主な技術的道具は、部分微分と構造定数を用いて定義される、逆元を付加したクイバーのパス代数上の二重双ポアソン括弧の使用である。
• 融合手続きと明示的計算を用いて、特に双方向の矢印を持つ2頂点クイバーについて、クイバー代数上の二重双ポアソン構造の非退化性を検証する。
• 生成子daおよびda*との双対シンプレクティック形式の縮約が、オイラーベクトル場を法として可逆作用素をもたらすことを示し、非退化性を確認する。
• 非退化性条件の下で、ハミルトン型二重双ポアソン代数と双対シンプレクティック代数の間の1対1対応が、シューテン括弧の恒等式の直接計算により確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双シンプレクティック形式の乗法的類似物を用いて、準ハミルトンG空間の概念を非可換代数へ一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 ハミルトン型二重双ポアソン代数がその表現空間上に非退化な双対シンプレクティック構造を誘導するための条件は何か？
• RQ3 クイバー代数上の二重双ポアソン構造の非退化性を厳密に確立でき、それが双対シンプレクティック構造をもたらすか？
• RQ4 表現空間上に非可換な古典的リーアルベイドロイド構造の類似物が存在するか？また、それはどのように二重双ポアソン代数から生じるか？
• RQ5 非退化性の下で、ハミルトン型二重双ポアソン代数と双対シンプレクティック代数の正確な関係は何か？
• RQ6 関手(-)_Nは、非可換な設定においてシューテン括弧や双モジュールの整合性といった構造的性質を保存するか？

主な発見

• 非退化なハミルトン型二重双ポアソン代数と双対シンプレクティック代数の間の1対1対応が確立され、古典的シンプレクティック対応が準ハミルトン設定へ一般化された。
• クイバー $1 \xrightarrow{a} 2 \xleftarrow{a^*} 1$ のパス代数上の二重双ポアソン構造が非退化であることが証明され、$\imath(P)(da) = (1+aa^*)\partial/\partial a^*$ および $\imath(P)(da^*) = -(1+a^*a)\partial/\partial a$ がオイラー場を法として成り立つ。
• 代数内での $1+aa^*$ および $1+a^*a$ の可逆性により、縮約写像が同型であることが保証され、双対シンプレクティック形式の非退化性が確認される。
• 二重双ポアソン代数は、非可換構造として「二重リーアルベイドロイド」と呼ばれるものを生じる。これは、各表現空間 $\operatorname{Rep}(A,N)$ 上で古典的リーアルベイドロイドに特殊化される。
• クイバーのデータから双対シンプレクティック代数を構成することは自然かつ標準的であり、融合および部分微分の計算から明示的な公式が導かれる。
• 非退化性条件が関手 $(-)_N$ を通じて保存されることを確認し、表現空間が非可換代数から来る準ハミルトンG空間構造をそのまま継承できることを示した。