[論文レビュー] Non-commutative residue of projections in Boutet de Monvel's calculus

Anders Gaarde|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、擬微分境界作用素のボーテ・ドゥ・モヌヴェル計算における射影における非可換トレースが消えることを証明する。$K$-理論的手法を$C^*$-代数の枠組みで用いることで、閉多様体における既知の事例に問題を還元し、計算のノルム閉包内の任意の射影のトレースがゼロであることを示した。これにより、境界値問題におけるセクターラル射影に関する疑問に部分的に答えを提示した。

ABSTRACT

Using results by Melo, Nest, Schick, and Schrohe on the K-theory of Boutet de Monvel's calculus of boundary value problems, we show that the non-commutative residue introduced by Fedosov, Golse, Leichtnam, and Schrohe vanishes on projections in the calculus. This partially answers a question raised in a recent collaboration with Grubb, namely whether the residue is zero on sectorial projections for boundary value problems: This is confirmed to be true when the sectorial projections is in the calculus.

研究の動機と目的

• 境界値問題におけるセクターラル射影の非可換トレースが消えるかどうかを、グリューブとの以前の共同研究で提起された問いに応えること。
• 閉多様体上での射影における非可換トレースが消えるという既知の結果を、境界を持つ多様体の設定に拡張すること。
• 計算のノルム閉包内の任意の射影の非可換トレースがゼロであることを、$K$-理論的還元を用いて示すこと。

提案手法

• プリ-$C^*$-代数のためのブラックダールの$K$-理論枠組み、特にイデムポテンの$K_0$-群を用いる。
• 滑らか化作用素による剰余のない符号代数と元の代数の$K_0$-群との間の$K$-理論的同型を用いる。
• 切断および特異グリーン作用素を含むパラメトリックス構成を用いて、与えられた符号イデムポテンを真の射影に上げる。
• 上昇させた射影に非可換トレース公式を適用し、それが閉多様体上での古典的擬微分作用素の射影のトレースに等しいことを示す。
• 閉多様体上での射影の非可換トレースがゼロであるというよく知られた事実を用いて、上昇作用素に対しても同様にゼロであると結論づける。
• 非可換トレースが$K$-理論的不変量と整合的であり、$C^*$-代数的構造によって正しく定義されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 セクターラル射影がボーテ・ドゥ・モヌヴェルの計算に含まれる場合、楕円境界値問題における非可換トレースは消えるか？
• RQ2 直接計算ではなく$K$-理論的手法を用いて、計算内での射影における非可換トレースの消えることを確立できるか？
• RQ3 ボーテ・ドゥ・モヌヴェル計算のノルム閉包内の射影の非可換トレースは、閉二重多様体上のその主符号のトレースに等しいか？
• RQ4 $K$-理論的構造が、非可換トレースの問題を閉多様体の状況に還元するのにどの程度有効か？

主な発見

• ボーテ・ドゥ・モヌヴェル計算のノルム閉包内の任意の射影の非可換トレースはゼロである。
• 計算内の射影のトレースは、その主符号の非可換トレースに等しく、それは閉二重多様体上の射影である。
• 古典的擬微分作用素の射影が閉多様体上で非可換トレースをゼロに持つことは、よく知られた事実であり、本研究の主要な入力として用いられた。
• $K_0$-群の間の$K$-理論的同型は、閉多様体の状況への還元を可能にする。
• 符号イデムポテンを真の射影に上げる構成により、$K$-理論的対応におけるトレースの保存が保証される。
• この結果により、対応するセクターラル射影が計算に含まれる場合、ゼータ不変量がスペクトルカットに依存しないことが確認された。