[論文レビュー] Non-commutative resolutions and Grothendieck groups

Hailong Dao, Osamu Iyama+2 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、可換ネーター正規整域における特異点の非可換解消（NCR）を、環のグロテンディーク群と類群の分析によって調査する。NCRの存在は、これらの群に強い有限性条件を課し、特に、標準的次数付きコhen＝マカウル環において、やや弱い仮定の下で有理特異点を示すことを示している。

ABSTRACT

Let $R$ be a noetherian normal domain. We investigate when $R$ admits a faithful module whose endomorphism ring has finite global dimension. This can be viewed as a non-commutative desingularization of $\Spec(R)$. We show that the existence of such modules forces stringent conditions on the Grothendieck group of finitely generated modules over $R$. In some cases those conditions are enough to imply that $\Spec(R)$ has only rational singularities.

研究の動機と目的

• ネーター正規整域 R が非可換解消（NCR）をもつための必要条件を特定すること、すなわち、R にたいして有限グローバル次元をもつ End_R(M) をもつ忠実な加群 M が存在すること。
• このような NCR の存在が、R の代数的 K-理論および類群構造に与える制約を調査すること。
• 複素数体上での標準的次数付きコヘン＝マカウル代数 R に対して、特異点が有理的であると仮定した場合、NCR の存在が Spec(R) が有理特異点しか持たないことを示すこと。
• 局所環におけるグロテンディーク群 K₀(R) の有限性と特異点の有理的性との関係を探索すること。
• 特徴が 0 であるが、CH₀(X)Q が有限であるが H^d(X, O_X) ≠ 0 である例を提示し、主定理の逆が成り立たない可能性のある反例を示唆すること。

提案手法

• K₀(R) および Cl(R) の有限性と NCR の存在との関係を、代数的 K-理論およびグロテンディーク群の技法を用いて分析する。
• 代数幾何学の結果、特に Leray-Serre 譜やコホモロジーの消失定理を応用し、射影的多様体のコホモロジーを解析する。
• Proposition 3.8 を用いて、正規整域において、NCR を与える加群 M の非ゴレンシュタイン部分集合の余次元が 2 以上であることを活用する。
• 除法 D に対して CH₀(X)Q と CH₀(X-D)Q の同型を用い、コホモロジーの消失を除法上での振る舞いに還元する。
• Lemma 3.9 を適用する。この補題は、CH₀(X)Q が除法上に支持されているならば、次元 d の滑らかで射影的な多様体 X に対して H^d(X, O_X) = 0 であると述べている。
• 有理特異点は、解体 f: X̃ → X に対して H^d(X, O_X) = 0 であることと同値であることを [34, Theorem 2.2] より用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規整域 R に対して、忠実な加群 M が存在し、End_R(M) が有限グローバル次元をもつような条件は何か？
• RQ2 グロテンディーク群 K₀(R) や類群 Cl(R) の有限性が、R の特異点に与える制約は何か？
• RQ3 複素数体上での標準的次数付きコヘン＝マカウル代数 R に対して、Spec(R) – {m} がすでに有理的であるならば、NCR の存在は Spec(R) が有理特異点しか持たないことを示唆するか？
• RQ4 滑らかで射影的な多様体 X に対して CH₀(X)Q が有限次元であることは、その同次座標環が有理特異点を持つことを示唆するか？
• RQ5 主定理の逆は成り立つか：K₀(R) が有限生成ならば、R は有理特異点を持つべきか？

主な発見

• R が NCR をもつ半局所正規整域であるならば、その類群 Cl(R) は有限生成である。
• R が半局所であり、閉部分スキームの次元が ≤1 である部分集合を除いて局所的に生成子であるような加群 M が NCR を与えるならば、K₀(R) は有限生成である。
• C 上の標準的次数付きコヘン＝マカウル代数 R で、不適切なイデアルを除いて有理特異点をもつものに対して、NCR の存在は Spec(R) が有理特異点しか持たないことを示す。
• Lemma 3.9 の仮定のもとで、次元 d の滑らかで射影的な多様体 X に対して、H^d(X, O_X) = 0 であることは、CH₀(X)Q が除法上に支持されていることと同値である。
• CH₀(X)Q が有限次元だが H²(X, O_X) ≠ 0 である Q̄ 上の K3 表面 X が存在するという事実は、主定理の逆が正の特徴を持つ場合に反例を示唆する。
• 本結果により、表面特異点について、有理特異点であることは、NCR をもつことと同値である、という新しい特徴づけが得られた。