[論文レビュー] Non-compact spectral triples with finite volume

Raimar Wulkenhaar|ArXiv.org|Jul 8, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、超対称調和振動子に基づくスペクトル三重項を構築することで、有限体積を有する非コンパクトなスペクトル三重項のフレームワークを提案する。ここで、ディラック作用素の二乗が調和振動子ハミルトニアンを与える。2つの異なるディラック作用素が得られ、それぞれが異なる体積形式をもつが、両者ともインデックスが1である。さらに、コンネス＝ロットの2点モデルにおけるスペクトル作用を計算し、対称性の自发的破れと破れなき相の間で滑らかな2相遷移を示すヒッグスポテンシャルが得られる。

ABSTRACT

In order to extend the spectral action principle to non-compact spaces, we propose a framework for spectral triples where the algebra may be non-unital but the resolvent of the Dirac operator remains compact. We show that an example is given by the supersymmetric harmonic oscillator which, interestingly, provides two different Dirac operators. This leads to two different representations of the volume form in the Hilbert space, and only their product is the grading operator. The index of the even-to-odd part of each of these Dirac operators is 1. We also compute the spectral action for the corresponding Connes-Lott two-point model. There is an additional harmonic oscillator potential for the Higgs field, whereas the Yang-Mills part is unchanged. The total Higgs potential shows a two-phase structure with smooth transition between them: In the spontaneously broken phase below a critical radius, all fields are massive, with the Higgs field mass slightly smaller than the NCG prediction. In the unbroken phase above the critical radius, gauge fields and fermions are massless, whereas the Higgs field remains massive.

研究の動機と目的

• 非ユニタルなスペクトル三重項のフレームワークを構築し、ディラック作用素の解像作用素がコンパクトとなるようにすることで、非コンパクト空間へのスペクトル作用原理の拡張を図ること。
• 超対称調和振動子ハミルトニアンを用いて、このようなスペクトル三重項の具体例を構成すること。
• 特にヒッグスポテンシャルの構造とその相転移の性質に注目し、コンネス＝ロットの2点モデルへの影響を検討すること。
• 非可換幾何学における超対称性および調和振動子の摂動が、正則化およびUV/IR混合に与える影響を調査すること。

提案手法

• 代数は非ユニタルであるが、ディラック作用素の解像作用素がコンパクトとなるようにスペクトル三重項を構築し、一般化された意味での有限体積を保証すること。
• 超対称調和振動子を用いて、同じ調和振動子ハミルトニアンをもたらす2つの異なるディラック作用素を定義すること。
• ゲージ場の展開において4次までの摂動的寄与を計算することで、コンネス＝ロットの2点モデルのスペクトル作用を導出すること。
• フーリエ変換およびラプラス変換を適用し、位置空間における有効作用を抽出し、ヤン・ミルズ項およびヒッグス項を特定すること。
• ウィッテン指数および超対称量子力学を用いてディラック作用素のインデックスを解析し、両者ともインデックスが1であることを示すこと。
• 運動量空間におけるガウス積分およびテイラー展開を実行し、時間順序積分を評価し、作用の主要項を抽出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック作用素の解像作用素がコンパクトとなるような、有限体積を有する非コンパクトなスペクトル三重項を構築可能か？
• RQ2 同じ調和振動子ハミルトニアンから2つの異なるディラック作用素がどのように生じるのか。それらの物理的・幾何学的意味は何か？
• RQ3 この調和振動子スペクトル三重項から導かれるコンネス＝ロット2点モデルにおけるスペクトル作用の構造はどのようなものか？
• RQ4 得られたヒッグスポテンシャルは、対称性の破れなき相と自発的破れ相の間で相転移を示すか。標準的なNCG予測と比較してどのように異なるか？
• RQ5 調和振動子ポテンシャルの導入は、非可換場の理論における正則化群のフローおよびUV/IR混合にどのように影響を与えるか？

主な発見

• スペクトル三重項は超対称調和振動子を用いて構築され、同じハミルトニアンを与える2つの異なるディラック作用素が得られる。
• 両ディラック作用素ともインデックスが1であり、非コンパクトな基底空間にもかかわらず、非自明な位相的構造を示している。
• ヒルベルト空間における2つの体積形式の積は、グレーディング作用素に対応し、幾何学とスペクトルデータの微妙な関係を示している。
• コンネス＝ロットモデルのスペクトル作用には、ヒッグス場に調和振動子ポテンシャルが含まれるが、ヤン・ミルズ項は変化しない。
• 全ヒッグスポテンシャルは2相構造を示す：臨界半径未満の破れた相では、すべての場が質量をもち、ヒッグス質量はNCG予測よりもわずかに小さい。臨界半径を超える未破れた相では、ゲージ場およびフェルミオン場は質量ゼロだが、ヒッグス場は依然として質量を持つ。
• スペクトル作用の主要項は、$ S_{112}( abla_A) = -\frac{\tilde{\rho}}{\tau^2} \big( A_\nu A^\nu (|\tilde{\rho}|^2 + A_\nu A^\nu) + B_\nu B^\nu (|\tilde{\rho}|^2 + B_\nu B^\nu) \big) $ および $ S_{1111}(\nabla_A) = \frac{\tilde{\rho}}{2\tau^2} \big( A_\nu A^\nu A_\rho A^\rho + B_\nu B^\nu B_\rho B^\rho \big) $ として計算され、ヤン・ミルズ項および4次ヒッグス相互作用が確認された。