[論文レビュー] Non-Compact WZW Conformal Field Theories

Krzysztof Gawędzki|ArXiv.org|Oct 31, 1991

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、コンpact Lie群 $H$ に対する非コンパクト WZW conformal field theories、特に $H^\mathbb{C}/H$ モデルを、連続的な conformal weights と発散する partition 関数を示す非有理的 CFT として調査する。非コンパクトなアーベル部分群（例：$SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ におけるブースト）のゲージ化により、ユークリッド的2次元ブラックホールを標的とする安定で明示的に構築された conformal sigma モデルが得られ、その正則化されたトーラス型 partition 関数が計算され、誘導表現およびコセット構成によるユニタリティと関連づけられる。

ABSTRACT

We discuss non-compact WZW sigma models, especially the ones with symmetric space $H^{\bf C}/H$ as the target, for $H$ a compact Lie group. They offer examples of non-rational conformal field theories. We remind their relation to the compact WZW models but stress their distinctive features like the continuous spectrum of conformal weights, diverging partition functions and the presence of two types of operators analogous to the local and non-local insertions recently discussed in the Liouville theory. Gauging non-compact abelian subgroups of $H^{\bf C}$ leads to non-rational coset theories. In particular, gauging one-parameter boosts in the $SL(2,\bC)/SU(2)$ model gives an alternative, explicitly stable construction of a conformal sigma model with the euclidean 2D black hole target. We compute the (regularized) toroidal partition function and discuss the spectrum of the theory. A comparison is made with more standard approach based on the $U(1)$ coset of the $SU(1,1)$ WZW theory where stability is not evident but where unitarity becomes more transparent.

研究の動機と目的

• ナチュラルに非コンパクト WZW モデルが示す不安定性を回避し、ユークリッド的2次元ブラックホールを標的とする安定で明示的に構築された conformal field theory を開発すること。
• 連続スペクトル、発散する partition 関数、およびリーマン理論における局所的・非局所的挿入に類似した2種類のオペレーターを有する非有理的 CFT の構造を分析すること。
• 特に $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ におけるブーストを含む、非コンパクトアーベル部分群のゲージ化を通じて、$H^\mathbb{C}/H$ WZW モデルと $SU(1,1)$ WZW コセット理論との関係を確立すること。
• 得られた $H^\mathbb{C}/H$ mod $N$ 理論の正則化されたトーラス型 partition 関数を計算し、誘導表現の特徴関数と関連づけること。
• SU(1,1) WZW 理論における軸方向およびベクトル $U(1)$ コセット構成を比較し、それらの安定性、ユニタリティ、および同等性を評価すること。

提案手法

• 自由場表現を用いて、特に $H^\mathbb{C}/H$ WZW 理論を構築・分析し、$SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ モデルの基本的構成要素とする。
• 非コンパクトアーベル部分群（例：1パrameterブースト）のゲージ化を $H^\mathbb{C}$ に適用し、$SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ mod $\mathbb{R}$ のような新しい非有理的コセット理論を生成する。
• ゲージ不変状態のトレースを用いて正則化されたトーラス型 partition 関数を計算し、$U(1)$ 電荷セクターおよび巻き戻りモードに明示的な依存関係を示す。
• ユニタリティと安定性を保証するため、誘導表現 $\hat{\cal D}$ におけるヘルミート構造に依存し、$J^{a}_{n}{}^{*} = -J^{a}_{-n}$ および $J^{3}_{n}{}^{*} = J^{3}_{-n}$ の随伴関係を用いる。
• SU(1,1) WZW 理論における軸方向およびベクトル $U(1)$ コセット構成を比較し、スペクトル、計量特異性、および汎関数積分の安定性を分析する。
• $U(1)$ 電荷 $l\kappa$ を用いて partition 関数内の巻き戻りセクターをラベル付けし、非ゼロ電荷寄与にはポリヤコフ線の挿入を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト WZW モデル $H^\mathbb{C}/H$ を、エネルギーが有界である安定でユニタリな CFT に一貫して量子化する方法は何か？
• RQ2 非コンパクトアーベル部分群のゲージ化は、特にユークリッド的2次元ブラックホールのための安定な conformal sigma モデルを構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 $H^\mathbb{C}/H$ WZW モデルおよびそのコセット還元の partition 関数は、誘導表現の特徴関数および状態のスペクトルとどのように関連するか？
• RQ4 SU(1,1) WZW 理論における軸方向およびベクトル $U(1)$ コセット構成の間の関係は何か？安定性の差にもかかわらず、それらは同等の CFT を与えるか？
• RQ5 オペレーター内容および conformal weights について、$H^\mathbb{C}/H$ モデルは有理的 CFT と比較してどのように異なるか？特に連続スペクトルおよび非局所的挿入の観点から。

主な発見

• $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ モデルにおいて1パrameterブーストをゲージ化することで、ユークリッド的2次元ブラックホールを標的とする明示的に安定な conformal sigma モデルが得られ、ナチュラルな非コンパクト WZW モデルのエネルギーの有界でない問題が解決される。
• $SL(2,\mathbb{C})/SU(2)$ mod $\mathbb{R}$ 理論の正則化されたトーラス型 partition 関数が計算され、ゲージ不変状態のトレースとして表現可能であり、$U(1)$ 電荷セクターおよび巻き戻りモードに依存することが示された。
• $H^\mathbb{C}/H$ WZW モデルがヘルミート構造による conformal block のペアリングを通じて、コンパクトな $H$ WZW モデルと双対的であることが示され、3次元 Chern-Simons 理論の解釈が可能である。
• SU(1,1) WZW 理論における軸方向 $U(1)$ コセットは安定でユニタリであり、誘導表現 $\hat{\cal D}$ を用いて partition 関数が計算されるが、ベクトルコセットは不安定さと特異計量を示す。
• partition 関数内の巻き戻りセクターは $U(1)$ 電荷 $l\kappa$ でラベル付けされ、ポリヤコフ線の挿入により寄与が計算され、自由場表現では $m_l + m_r = l\kappa$ を満たす状態に対応する。
• 軸方向およびベクトル $U(1)$ コセットの双対性は未解決のままであるが、ベクトル理論は安定な汎関数積分を持たないものの、両者とも同じ相互に局所的なオペレーターのスペクトルを持つ可能性がある。