[論文レビュー] Non-conforming harmonic virtual element method: $h$- and $p$-versions

Lorenzo Mascotto, Ilaria Perugia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、多角形メッシュ上での2次元Dirichlet-Laplace問題に対して、内部自由度を排除することで従来のVEMより高速な収束を達成する非適合調和仮想有限要素法（VEM）を提案する。この手法は、準最適な$h$-および$p$-バージョンの誤差境界を確立し、$hp$-バージョンにおいて指数的収束を示す。数値的検証により、収束速度が自由度の数の平方根に比例することが確認された。

ABSTRACT

We study the $h$- and $p$-versions of non-conforming harmonic virtual element methods (VEM) for the approximation of the Dirichlet-Laplace problem on a 2D polygonal domain, providing quasi-optimal error bounds. Harmonic VEM do not make use of internal degrees of freedom. This leads to a faster convergence, in terms of the number of degrees of freedom, as compared to standard VEM. Importantly, the technical tools used in our $p$-analysis can be employed as well in the analysis of more general non-conforming finite element methods and VEM. The theoretical results are validated in a series of numerical experiments. The $hp$-version of the method is numerically tested, demonstrating exponential convergence with rate given by the square root of the number of degrees of freedom.

研究の動機と目的

• 内部自由度を排除することで、従来のVEMより収束速度を向上させる非適合調和仮想有限要素法の開発。
• この手法の$h$-および$p$-バージョンを解析し、破綻$H^1$および$L^2$ノルムにおける準最適誤差境界を提供。
• この手法の$hp$-バージョンが指数的収束を示すことを示し、標準FEMおよびVEMよりも速い減衰を示す。
• 非調和ケースにまで拡張可能な、非適合FEMおよびVEMに適用可能な一般化$p$-解析フレームワークの提供。

提案手法

• 局所仮想有限要素空間は、局所的にラプラス方程式を満たす調和関数を用いて構築され、明示的な基底関数の計算を回避する。
• 自由度は、要素の辺上における解およびその勾配のモーメントによって定義され、多項式空間への射影作用素の計算が可能になる。
• 射影作用素$\Pi^\nabla_K$は、グラム行列$\boldsymbol{G}$と質量行列$\boldsymbol{B}$を含む行列式を用いて、仮想有限要素関数を多項式空間に写像する。
• 双線形形式は、行列$\boldsymbol{\Pi}_*^T \widetilde{\boldsymbol{G}} \boldsymbol{\Pi}_* + (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{\Pi})^T \boldsymbol{S} (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{\Pi})$を用いて構成され、$\boldsymbol{S}$は辺上の積分に基づく安定化行列である。
• 安定化行列$\boldsymbol{S}$は、ルジャンドル多項式の直交性を用いて対角化され、高次精度の行列構築を簡素化する。
• ディリクレ境界条件は、$\mathbb{P}_{p-1}$-適合なトレースを用いた辺上のモーメント条件により弱く強制される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部自由度を排除することで、非適合調和VEMは従来のVEMよりも高速な収束を達成できるか？
• RQ2 非適合調和VEMの$h$-および$p$-バージョンの、破綻$H^1$および$L^2$ノルムにおける準最適誤差境界は何か？
• RQ3 この手法の$hp$-バージョンは指数的収束を示すか？また、自由度の数にどのように依存するか？
• RQ4 調和VEMに開発された$p$-解析ツールは、非調和ケースにおける非適合FEMおよびVEMに拡張可能か？

主な発見

• 本手法は、破綻$H^1$および$L^2$ノルムにおいて準最適な$h$-バージョン誤差境界を達成し、収束速度はメッシュサイズと多項式次数に依存する。
• $p$-バージョンでは指数的収束を示し、誤差は自由度の数の平方根に比例する速度で減少する。
• 数値実験により理論的$hp$-収束速度が確認され、理論的予測と整合する指数的減衰が観察された。
• ルジャンドル多項式の直交性により、安定化行列$\boldsymbol{S}$が対角化され、高次精度実装が簡素化された。
• この$p$-解析フレームワークは非調和非適合VEMにまで拡張可能であり、将来的には[7]で示された手法の非調和ケースにおける解析が可能になる。
• 特に$hp$-領域において、標準FEMおよびVEMよりも収束速度が優れている。