[論文レビュー] Non-constant genus 2 curves with pro-Galois covers

Claus Diem, Gerhard Frey|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、奇素数の特徴を持つ体上に、非定数の genus 2 曲線の族を構成し、幾何的に連結なファイバーをもつ無限次数の pro-Galois（pro-étale）被覆が存在することを示す。これらの曲線のヤコビアンは、楕円曲線の積と同種であることが示され、非定数族においても正標数でこのような無限次元の pro-Galois 被覆が存在することを裏付けている。

ABSTRACT

For every odd prime number p, we give examples of non-constant smooth families of genus 2 curves over fields of characteristic p which have pro-Galois (pro-étale) covers of infinite degree with geometrically connected fibers. The Jacobians of the curves are isomorphic to products of elliptic curves.

研究の動機と目的

• 奇素数の特徴を持つ体上に、非定数の滑らかな genus 2 曲線の族を構成すること。
• このような族に対して、幾何的に連結なファイバーをもつ無限次元の pro-Galois（pro-étale）被覆が存在することを示すこと。
• これらの genus 2 曲線のヤコビアンの構造を分析し、それが楕円曲線の積と同型であることを示すこと。
• 定数族を超えた正標数における pro-Galois 被覆の理解を拡張すること。

提案手法

• 奇素数の特徴を持つ体上に定義された genus 2 曲線の族を用いた構成。
• 特定の genus 2 曲線のヤコビアンが楕円曲線の積と同型であるという事実を活用し、楕円曲線の既知の被覆性質を応用。
• 無限次元の幾何的に連結なファイバーをもつ被覆を、有限 G-ガロア被覆の逆極限により構成。
• ヤコビアンの分解を通じて、楕円曲線の因子に無限次元の pro-Galois 被覆が存在することを根拠とし、それを genus 2 曲線へと持ち上げる。
• 正標数における pro-étale 位相および幾何的連結性の文脈で分析を実施。
• 構成は非定数であり、つまりベース体上で変化する族である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴 p の体上の非定数族の genus 2 曲線は、幾何的に連結なファイバーをもつ無限次元の pro-Galois 被覆を有するか？
• RQ2 genus 2 曲線のヤコビアンにどのような条件が満たされていれば、正標数でこのような無限次元の pro-Galois 被覆が存在するか？
• RQ3 ヤコビアン分解における楕円曲線の因子の性質は、無限次元の pro-Galois 被覆の存在にどのように影響するか？
• RQ4 ヤコビアンが正標数で楕円曲線の積と同種である場合、このような被覆を構成することは可能か？
• RQ5 非定数族の genus 2 曲線は、定数族に由来しない無限次元の pro-Galois 被覆を有するか？

主な発見

• 任意の奇素数 p に対して、特徴 p の体上に、無限次元の pro-Galois 被覆をもつ非定数の滑らかな genus 2 曲線の族が存在する。
• これらの被覆は pro-étale であり、幾何的に連結なファイバーを持つため、被覆空間が幾何的に既約であることが保証される。
• これらの族に属する genus 2 曲線のヤコビアンは、楕円曲線の積と同型である。この性質により、無限次元被覆の構成が可能になる。
• このような被覆の存在は、ヤコビアンの楕円曲線因子から無限次元の pro-Galois 被覆を持ち上げることによって確立される。
• この構成は正標数で有効であり、定数族に依存せず、算術幾何における新しいクラスの例を示している。
• 結果として、非定数族でも無限次元の pro-Galois 被覆が存在可能であることが示され、定数族の場合に既知の結果が拡張された。