[論文レビュー] (Non-)Contextuality of Physical Theories as an Axiom

Adán Cabello, Simone Severini+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、KCBS非文脈性不等式をグラフで表される任意の適合構造へ一般化し、量子の違反がグラフのローヴァス θ 関数によって上限づけられることを示す。一方、一般化された確率理論では、分数パッキング数によってこの上限を超えることができる。本研究は、量子的および一般化された確率的モデルのための効率的な半定形計画および線形計画の特徴付けを確立し、非文脈的、量子的、一般化された相関の間に厳密な階層が存在することを明らかにした。

ABSTRACT

We show that the noncontextual inequality proposed by Klyachko et al. [Phys. Rev. Lett. 101, 020403 (2008)] belongs to a broader family of inequalities, one associated to each compatibility structure of a set of events (a graph), and its independence number. These have the surprising property that the maximum quantum violation is given by the Lovasz theta-function of the graph, which was originally proposed as an upper bound on its Shannon capacity. Furthermore, probabilistic theories beyond quantum mechanics may have an even larger violation, which is given by the so-called fractional packing number. We discuss in detail, and compare, the sets of probability distributions attainable by noncontextual, quantum, and generalized models; the latter two are shown to have semidefinite and linear characterizations, respectively. The implications for Bell inequalities, which are examples of noncontextual inequalities, are discussed. In particular, we show that every Bell inequality can be recast as a noncontextual inequality a la Klyachko et al.

研究の動機と目的

• 五角形を超えて、グラフで表される任意の適合構造へ KCBS 非文脈性不等式を一般化すること。
• 非文脈的、量子的、一般化された確率的モデルが許容する確率分布の集合を特徴づけること。
• 量子の違反が半定形計画法により効率的に計算可能であり、一般化モデルの違反が線形計画法により解けることを示すこと。
• 量子力学を破るが Gleason の制約を満たす確率割り当ての操作的起源を明確にし、それが一般化された確率理論から生じることを示すこと。
• 非文脈的、量子的、一般化されたモデルの間に、最も単純な場合（五角形）でさえも厳密な階層が存在することを確立すること。

提案手法

• イベントの適合性と排反性をグラフとして表現し、頂点をイベント、辺を適合性および排反性を表す。
• 互いに適合する観測可能の期待値の和に基づく非文脈的不等式を定義し、その最大値がグラフの独立数によって制約されることを示す。
• ローヴァス θ 関数を非文脈的不等式の最大量子違反の上界として用いる。
• 半定形計画法による量子相関の特徴づけを行い、最大量子値が効率的に計算可能であることを示す。
• 線形計画法による一般化された確率的モデルの特徴づけを行い、最大違反値も効率的に計算可能であることを示す。
• 量子力学では実現不可能だが Gleason の制約を満たす確率割り当てが、一般化された確率理論における有効な操作的モデルから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KCBS 非文脈性不等式は、五角形を超えて任意の適合構造へ一般化可能か？
• RQ2 与えられたグラフに対して、非文脈的不等式の最大量子違反は何か？ そして、それは効率的に計算可能か？
• RQ3 非文脈的、量子的、一般化されたモデルの確率分布の集合は、それぞれの達成可能な値においてどのように比較できるか？
• RQ4 Gleason の制約を満たすが量子力学を破る確率割り当ては、一貫した操作的理論で説明可能か？
• RQ5 一般化された確率理論における最大量子違反と代数的最大値の関係は何か？

主な発見

• グラフ Γ に対する非文脈的不等式の最大量子違反は、Γ のローヴァス θ 関数に等しく、半定形計画法により効率的に計算可能である。
• 五角形（C5）の場合、最大量子違反は √5 ≈ 2.236 であり、非文脈的上限の 2 を超えるが、一般化上限の 2.5 には及ばない。
• 一般化された確率的モデルは、五角形において最大違反値 5/2 = 2.5 を達成可能であり、これは量子力学では達成不可能である。
• 量子相関の集合は、一般化された確率的相関の集合に厳密に含まれる。これは、最も単純な非自明な場合（C5）でも成り立つ。
• 非文脈的不等式 β(Γ) の最大値は NP 困難に属するが、量子および一般化モデルの違反値はそれぞれ半定形計画法および線形計画法により効率的に計算可能である。
• 量子力学を破るが Gleason の制約を満たす確率割り当てが、隣接するイベントが完全（和が 1 に等しい）であるが、必ずしも直交的ではない一般化された確率理論の有効な操作的モデルに由来することを示した。