[論文レビュー] Non-contractible periodic trajectories of symplectic vector fields, Floer cohomology and symplectic torsion

Dan Burghelea, Stefan Haller|ArXiv.org|Apr 1, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、弱く単調なシンプレクティック多様体上の時刻に依存するシンプレクティックベクトル場の非可縮み周期的軌道に対して、ノヴィコフ環のホワイトヘッド群における新しい不変量、シンプレクティック torsion を導入する。1周期的軌道を固定したホモトピー類に基づくフローリングコホモロジー複体を構成することで、1形式 $ i_{Z_t}\omega $ のコホモロジー類が時間に依存せず、クラス $ \gamma $ で消えないとき、フローリングコホモロジーは消えるが、シンプレクティック torsion は非自明のままであることが示され、このような軌道の存在に対する新たな障害を提供する。

ABSTRACT

For a closed symplectic manifold $(M,ω)$, a compatible almost complex structure $J$, a 1-periodic time dependent symplectic vector field $Z$ and a homotopy class of closed curves $γ$ we define a Floer complex based on 1-periodic trajectories of $Z$ in the homotopy class $γ$. We suppose that the closed 1-form $i_{Z_t}ω$ represents a cohomology class $β(Z):=β$, independent of $t$. We show how to associate to $(M,ω,γ,β)$ and to two pairs $(Z_i,J_i)$, $i=1,2$ with $β(Z_i)=β$ an invariant, the relative symplectic torsion, which is an element in the Whitehead group $Wh(Λ_0)$, of a Novikov ring $Λ_0$ associated with $(M,ω,Z,γ)$. If the cohomology of the Floer complex vanishes or if $γ$ is trivial we derive an invariant, the symplectic torsion for any pair $(Z,J)$. We prove, that when $β(γ) eq 0$, or when $γ$ is non-trivial and $β$ is 'small', the cohomology of the Floer complex is trivial, but the symplectic torsion can be non-trivial. Using the first fact we conclude results about non-contractible 1-periodic trajectories of 1-periodic symplectic vector fields. In this version we will only prove the statements for closed weakly monotone manifolds, but note that they remain true as formulated for arbitrary closed symplectic manifolds.

研究の動機と目的

• 閉じたシンプレクティック多様体上の時刻に依存するシンプレクティックベクトル場の1周期的軌道に対して、新しい不変量であるシンプレクティック torsion を定義すること。
• コホモロジー類 $[i_{Z_t}\omega]$ が $ t $ に依存しないという条件下で、フローリングコホモロジーを非可縮み周期的軌道へ拡張すること。
• このようなベクトル場と almost complex 構造のペアに対して、ホワイトヘッド群 $\operatorname{Wh}(\Lambda_0)$ 内の相対的シンプレクティック torsion を構成すること。
• フローリングコホモロジーが消えても、シンプレクティック torsion が非自明であることが示され、コホモロジー的消滅よりも強い障害を提供すること。

提案手法

• シンプレクティック多様体 $(M,\omega)$、1周期的シンプレクティックベクトル場 $Z$、ホモトピー類 $\gamma$ を用いて、非退化な $\gamma$ 内の1周期的軌道に基づく、ノヴィコフ環 $\Lambda$ 上のフローリング余複体を構成する。
• コホモロジー類 $\beta = [i_{Z_t}\omega] \in H^1(M;\mathbb{R})$ を定義し、これが $ t $ に依存しないことを仮定することで、ノヴィコフ構造と整合性を保つ。
• 一貫した向き付けと正則性条件を用いて、$(Z,J)$ の摂動に対してフローリングコホモロジーが不変であることを確立する。
• フローリング複体間の写像コーンから導かれる、$\operatorname{Wh}(\Lambda_0)$ 内の相対的シンプレクティック torsion を定義する。
• モース＝スマールモデルとノヴィコフモジュール構造を用いて、フローリング複体を位相的ホワイトヘッド torsion に、複体レベルの同型写像によって関連付ける。
• トーラス上の具体的な例で、複体が $\cdots \to 0 \to \Lambda \xrightarrow{1 \pm z} \Lambda \to 0 \to \cdots$ と表され、torsion が $1 \pm z \in \Lambda \setminus \{0\} / \pm z$ であることを示し、torsion が非自明であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フローリングコホモロジーが消える状況下でも、時刻に依存するシンプレクティックベクトル場の非可縮み周期的軌道に対して非自明なシンプレクティック torsion 不変量を定義できるか？
• RQ2 almost complex 構造およびベクトル場の変更に対してシンプレクティック torsion はどのように振る舞い、補助的な選択に依存しないか？
• RQ3 シンプレクティック torsion とベクトル場の力学的性質との関係は何か。特に、閉じた軌道や関連するラプラシアンのスペクトル論の観点から。
• RQ4 コホモロジー的不変量では捉えきれない幾何的特徴、例えばアサイクル複体における非自明性など、シンプレクティック torsion が検出できるか？
• RQ5 シンプレクティック torsion は明示的な例で計算可能か？また、それらは背後にある位相的または力学的構造を反映しているか？

主な発見

• $\beta(\gamma) \neq 0$ または $\gamma$ が非自明で $\beta$ が「小さい」とき、$Z$ と $\gamma$ に関連する複体のフローリングコホモロジーは消える。
• フローリングコホモロジーが消えても、シンプレクティック torsion は非自明であることが示され、トーラス上の例で torsion が $1 \pm z \in \Lambda \setminus \{0\} / \pm z$ であると確認された。
• 相対的シンプレクティック torsion は $\operatorname{Wh}(\Lambda_0)$ 内でうまく定義されており、$\beta$ が固定されている限り、適合する almost complex 構造や時刻に依存するベクトル場の選択に依存しない。
• シンプレクティック torsion はノヴィコフモジュール構造を通じて、位相的マッピングコーンのホワイトヘッド torsion と同型であり、古典的代数的トポロジーに接続される。
• $\gamma$ が自明で $Z$ が時刻に依存しない場合、シンプレクティック torsion は $\operatorname{grad}_g(i_Z\omega)$ の力学的性質および時刻に依存するラプラシアンのスペクトル論の両方の観点から表現可能である。
• この構成は弱く単調な多様体を超えて有効であるが、本稿では技術的明瞭性と基礎的安定性を考慮し、この場合に集中している。