[論文レビュー] Non-crossing partitions of type (e,e,r)

David Bessis, Ruth Corran|ArXiv.org|Mar 23, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、型$(e,e,r)$の非交差分割の新しいラティスを導入し、braid群$B(e,e,r)$に対してGarside構造を提供することで、語問題と共役問題を解けるようにする。この構成は古典的な非交差分割を一般化し、複素反射群型$G(e,e,r)$における双対braidモノイド枠組みを拡張する。応用分野にはbraid群理論、クラスタ代数、自由確率論が含まれる。

ABSTRACT

We investigate a new lattice of generalised non-crossing partitions, constructed using the geometry of the complex reflection group $G(e,e,r)$. For the particular case $e=2$ (resp. $r=2$), our lattice coincides with the lattice of simple elements for the type $D_n$ (resp. $I_2(e)$) dual braid monoid. Using this lattice, we construct a Garside structure for the braid group $B(e,e,r)$. As a corollary, one may solve the word and conjugacy problems in this group.

研究の動機と目的

• 型$(e,e,r)$の非交差分割を用いてbraid群$B(e,e,r)$の組合せ的枠組みを構築すること。
• 双対braidモノイドの構成を、$D_r$および$I_2(e)$を特別な場合として含む複素反射群$G(e,e,r)$に一般化すること。
• ケースバイケースのコンピュータ解析に依存せずに、$B(e,e,r)$にGarside構造を提供すること。
• 非交差分割のラティスと、クラスタ代数や自由確率論などの表現論的構造との関係を確立すること。
• Broué-Malle-Rouquier生成子が有限提示を持たないことを、Garside構造を用いて証明すること。

提案手法

• 複素反射群$G(e,e,r)$の幾何学的性質を用いて、非交差分割のラティス$NCP(e,e,r)$を構成する。
• ラティス$NCP(e,e,r)$における単純元の集合を用いて、$B(e,e,r)$上にGarsideモノイド構造を定義する。
• Garsideモノイドにおける$a$-チェーンと可除性の概念を用いて、語の簡約可能性とキャンセル性を分析する。
• 右および左キャンセレーションの議論を適用し、braid群における関係$21^k3213 = 32132^k1$を導出する。
• 型$A$のbraid群$B_n$への全射$B(e,e,n+1) \to B_n$を用いて、$2^k1$や$32132^k$のような語の振る舞いを分析する。
• 単一要素同値類と可除性のチェックを用いて、BMR生成集合上でキーワードの再書き換え不可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型$(e,e,r)$の非交差分割のラティスを用いて、braid群$B(e,e,r)$にGarside構造を構築できるか？
• RQ2 ラティス$NCP(e,e,r)$は、$D_r$および$I_2(e)$の双対braidモノイドとどのように関係するか？
• RQ3 $NCP(e,e,r)$の数的構造は何か？ そして、これは古典的なCatalan数の公式を一般化するか？
• RQ4 Garside枠組みを用いて、Broué-Malle-Rouquier提示が非有限提示可能であることを示せるか？
• RQ5 $NCP(e,e,r)$とクラスタ代数や自由確率論などの他の分野との間に接続はあるか？

主な発見

• ラティス$NCP(e,e,r)$はGarsideラティスであり、その単純元が$B(e,e,r)$のGarsideモノイド構造を形成する。
• $NCP(e,e,r)$の濃度は一般化されたCatalan数であり、$NCP(1,1,r)$の古典的公式を拡張する。
• $e=2$の場合、ラティス$NCP(2,2,r)$は型$D_r$の双対braidモノイドと一致する。$r=2$の場合、型$I_2(e)$の双対braidモノイドと一致する。
• Broué-Malle-Rouquier提示によって定義されるモノイドはGarside的であり、$B(e,e,r)$における語問題と共役問題の効率的解決を可能にする。
• Broué-Malle-Rouquier生成子によって生成される部分モノイドは、有限提示を持たない。関係$21^k3213 = 32132^k1$のような無限長の関係によって示される。
• 生成集合$\{1,2,3\}$上で語$32132^k$は再書き換え不可能であり、これはモノイドの完全な構造を捉える有限関係集合が存在しないことを証明する。