[論文レビュー] Non cyclic functions in the Hardy space of the bidisc with arbitrary decrease

Xavier Massaneda, Pascal J. Thomas|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、双円板のハーディー空間に属する関数を構成し、境界に近づくにつれて任意にゆっくりと減少するが（特に、任意の重み関数 v に対して log|f(z)| ≥ −v(δ(z)) を満たす）、循環的でないものである。z₁z₂ を用いて構成された特異なガンマ関数を用いて、H²(D²) における循環性のための、任意の減衰条件が十分でないことを示しており、これはバーグマン空間における場合とは対照的である。

ABSTRACT

We construct an example to show that no condition of slow decrease of the modulus of a function is sufficient to make it cyclic in the Hardy space of the bidisc. This is similar to what is well known in the case of the Hardy space of the disc, but in contrast to the case of the Bergman space of the disc.

研究の動機と目的

• H²(D²) における |f| の任意の緩やかな減少条件が循環性を保証しないことを示す。
• ハーディー空間の単位円板におけるモジュラスに基づく循環性基準の失敗が、双円板のハーディー空間へと拡張されることを示す。
• 任意の重み関数 v に対して、log|f(z)| ≥ −v(δ(z)) を満たすが非循環的な f ∈ H²(D²) を構成する。
• 単位円板のバーグマン空間における循環性の十分条件が、双円板のハーディー空間へと拡張されないことを示す。

提案手法

• δ(z) = max(1−|z₁|, 1−|z₂|) を定義し、特徴的な境界からの距離を測る。
• μᵥ が μᵥ(I) ≤ c₀|I|v(|I|) を満たすように選ばれた測度 μᵥ を用いて、f₀(ζ) = exp(−∫(e^{iθ}+ζ)/(e^{iθ}−ζ) dμᵥ(θ)) として特異なガンマ関数を構成する。
• f(z₁,z₂) = f₀(z₁z₂) とおくことで、1−|z₁z₂| ≤ 1−|z₁| + 1−|z₂| の不等式により log|f(z)| ≥ −v(δ(z)) が成立する。
• f₀ が H²(D) で非循環的であり、かつ f が有界性と ℓ² 係数の和分可能性により H²(D²) に属することを用いる。
• 変数変換 (θ₁=θ, θ₂=θ+α) を適用し、循環性問題を円周上の1変数問題に還元する。
• 循環性を仮定して矛盾を導く：Pₙ → 1 が 𝕋² 上の L² で成り立つならば、qₖ(ζ) := Pₙₖ(ζ, e^{iα}ζ) は ‖qₖgₐ − 1‖_{H²(D)} → 0 を満たすが、これは gₐ が特異なガンマ関数であることに反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H²(D²) における |f(z)| の任意の緩やかな減少条件が循環性を保証できるか？
• RQ2 単位円板のバーグマン空間における循環性の十分条件が、双円板のハーディー空間へと拡張可能か？
• RQ3 任意にゆっくりと減衰する（log|f(z)| ≥ −v(δ(z)) を満たす）が非循環的な H²(D²) 内の関数が存在するか？
• RQ4 対角制限の議論を用いて、このような関数の循環性を排除できるか？
• RQ5 H²(D²) におけるモジュラスに基づく基準の失敗は、1変数の場合と類似しているか？

主な発見

• v(t²) ≤ Cv(t) を満たし、∫₀¹ v(t)²/(t(ln t)²) dt < ∞ を満たす任意の重み関数 v に対して、log|f(z)| ≥ −v(δ(z)) を満たすが非循環的な f ∈ H²(D²) が存在する。
• f(z₁,z₂) = f₀(z₁z₂) は H²(D²) に属し、1−|z₁z₂| の劣加法性により所望の減衰条件を満たす。
• f₀(ζ) は log|f₀(z)| ≥ −v(1−|z|) を満たす特異なガンマ関数であり、H²(D) で非循環的である。
• f が H²(D²) で循環的ならば、対角制限により f₀ が H²(D) で循環的であることが導かれるが、これは誤りである。
• 矛盾は、循環性の仮定が、f₀(e^{iα}ζ²) と合成された多項式の列が H²(D) で 1 に収束することを意味し、特異なガンマ関数の非循環性に反する。
• この結果は、H²(D²) においては、モジュラスの減衰条件だけでは循環性を保証できないことが示され、バーグマン空間の場合とは対照的である。