[論文レビュー] Non-cyclic graph of a group

Aliréza Abdollahi, A. Mohammadi Hassanabadi|ArXiv.org|Aug 17, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、局所的巡回でない群 G の非巡回グラフ Γ_G を導入する。頂点は巡回化しない元（G ∖ Cyc(G)）であり、辺は巡回部分群を生成しないペアを結ぶ。非巡回グラフは常に連結であり、直径 ≤3 であることが示され、巡回化が自明な有限ノルム群に対しては、非巡回グラフの同型から群の同型が導かれる。主な貢献は、有限非アーベル単純群のすべてが非巡回グラフによって一意に特定可能であるという予想である。

ABSTRACT

We associate a graph $Γ_G$ to a non locally cyclic group $G$ (called the non-cyclic graph of $G$) as follows: take $G\backslash Cyc(G)$ as vertex set, where $Cyc(G)=\{x\in G | \left ext{is cyclic for all} y\in G\}$, and join two vertices if they do not generate a cyclic subgroup. We study the properties of this graph and we establish some graph theoretical properties (such as regularity) of this graph in terms of the group ones. We prove that the clique number of $Γ_G$ is finite if and only if $Γ_G$ has no infinite clique. We prove that if $G$ is a finite nilpotent group and $H$ is a group with $Γ_G\congΓ_H$ and $|Cyc(G)|=|Cyc(H)|=1$, then $H$ is a finite nilpotent group. We give some examples of groups $G$ whose non-cyclic graphs are ``unique'', i.e., if $Γ_G\cong Γ_H$ for some group $H$, then $G\cong H$. In view of these examples, we conjecture that every finite non-abelian simple group has a unique non-cyclic graph. Also we give some examples of finite non-cyclic groups $G$ with the property that if $Γ_G \cong Γ_H$ for some group $H$, then $|G|=|H|$. These suggest the question whether the latter property holds for all finite non-cyclic groups.

研究の動機と目的

• 局所的巡回でない群 G の非巡回グラフ Γ_G を定義・研究すること。頂点は Cyc(G) に属さない元であり、辺は巡回部分群を生成しないペアを結ぶ。
• 非巡回グラフ Γ_G のグラフ論的性質（クリーク数、正則性、独立数など）を、群論的不変量と関連付けて調査すること。
• 非巡回グラフが群を一意に特定する条件を同定すること。特に、有限非アーベル単純群に対して考察する。
• Γ_G の同型不変量を探索し、特定の群のクラスに対しては、Γ_G ≅ Γ_H ならば |G| = |H| または G ≅ H が成り立つことを確立すること。

提案手法

• Cyc(G) = {x ∈ G | ⟨x,y⟩ がすべての y ∈ G に対して巡回である} を定義し、Γ_G の頂点集合を G ∖ Cyc(G) と設定する。
• ⟨x,y⟩ が巡回でない場合に x と y の間に辺を張ることで、非巡回生成性に依存するグラフを定義する。
• 中心化子、巡回化子、および素数グラフ（Gruenberg-Kegel）解析といった群論的道具を用いてグラフ構造を分析する。
• 有限群論の結果、特に有限単純群の分類および p-群の性質を応用し、同型定理を導出する。
• |Cyc(G)| が |G| − 1 および特定の素数 p に対して |G| − p を割り切ることを用い、同型条件のもとで |Cyc(G)| = 1 を導く。
• Williams や Kondrat’ev による素数グラフが非連結となる群の分類結果を活用し、同型不変量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群 G の非巡回グラフ Γ_G がそのグラフ構造によって一意に決定される条件は何か。すなわち、Γ_G ≅ Γ_H ならば G ≅ H となる条件は？
• RQ2 有限群の非巡回グラフが有限クリーク数を持つのはいつか。また、その条件を満たす群論的条件は何か？
• RQ3 ノルム群、対称群、交代群、単純群などの特定のクラスの有限群に対して、Γ_G ≅ Γ_H ならば |G| = |H| となるのはどの場合か？
• RQ4 巡回化子 Cyc(G) の構造と Γ_G の正則性または対称性との関係は何か？
• RQ5 すべての有限非アーベル単純群の非巡回グラフは、Γ_G ≅ Γ_H ならば G ≅ H となる意味で一意的か？

主な発見

• 任意の局所的巡回でない群 G に対して、非巡回グラフ Γ_G は連結であり、直径は 3 以下である。
• Γ_G のクリーク数が有限であることは、Γ_G に無限クリークが存在しないことと同値である。
• G が有限ノルム群であり、H が Γ_G ≅ Γ_H かつ |Cyc(G)| = |Cyc(H)| = 1 を満たす群であるとき、H も有限ノルム群である。
• 有限非アーベル単純群に対して、Γ_G ≅ Γ_H ならば |G| = |H| であり、Shi-Bi 予想が成り立つと仮定すれば G ≅ H である。このことから、すべての有限非アーベル単純群が一意な非巡回グラフを持つという予想が導かれる。
• 対称群 S_n (n > 2) および交代群 A_n (n > 3) に対して、Γ_G ≅ Γ_S_n ならば G ≅ S_n であり、Γ_G ≅ Γ_A_n ならば G ≅ A_n である。
• Lie 型の有限非アーベル単純群 M で s(M) ≥ 2（B_n, C_n, D_n で n が偶数のものを除く）であるものに対して、Γ_M ≅ Γ_G ならば G ≅ M である。これは、これらの群に対して Shi-Bi 予想が成立すると仮定した場合に成り立つ。