[論文レビュー] Non density of stability for holomorphic mappings on P^k

Romain Dujardin|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、$k \geq 2$ および $d \geq 2$ において、複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ 上の正則写像の空間において $J^*$-安定性が稠密でないことを、位相的およびフラクタル幾何的機構を用いて、分岐locus内に開集合を構成することで示している。具体的には、$J^*$ 内の後期臨界集合と双曲的反発的リピーターとの間で持続的な交わりを構築している。この結果は、1次元における Mafin{\'e}-Sad-Sullivan-Lyubich の稠密性定理の高次元版を反証する。

ABSTRACT

A well-known theorem due to Mañé-Sad-Sullivan and Lyubich asserts that J-stable maps are dense in any holomorphic family of rational maps in dimension 1. In this paper we show that the corresponding result fails in higher dimension. More precisely, we construct open subsets in the bifurcation locus in the space of holomorphic mappings of degree d of P^k (C) for every d $\ge$ 2 and k $\ge$ 2.

研究の動機と目的

• 複素射影空間 $\mathbb{P}^k$ ($k \geq 2$) 上の正則写像族における $J^*$-安定性が稠密であるかどうかを調査し、1次元における Mafin{\'e}-Sad-Sullivan-Lyubich 定理を拡張する。
• 高次元複素力学系において、持続的分岐（分岐locus内の開集合）が生じ得るかどうかを特定する。
• 位相的およびフラクタル幾何的メカニズムを用いて、明示的な正則写像の例を構成し、強靭な分岐を示す。
• このような分岐の広がりと、反発的周期軌道における乗数の交差との関係を調査する。

提案手法

• 積写像 $(p(z), w^d)$ の小さな摂動を構成し、位相的障害によって $J^*$ 内の動的定義された多様体と後期臨界集合との間で持続的な交わりを実現する。
• ホモロジー的議論を適用し、位相的制約から生じる $J^*$ 内の特定の動的多様体が、後期臨界集合と交わらざるを得ないことを示す。
• Bonatti-Diaz理論にインspiredされた「太った」カントール集合（ブレーダー）を複素力学系に用い、微小摂動に対しても臨界集合と横断的交わることを保証する。
• 反復写像による臨界集合の像の幾何構造を分析し、摂動が双曲的反発的リピーターとの交わりを保存することを検証する。
• $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ が $\mathbb{P}^N$ のザリスキ開集合としての構造を持つことを利用して、写像をパrametrizeし、分岐locusを分析する。
• $k=2$ の結果を高次元に拡張するため、ファイバー構造を分析し、高次元積空間における反復写像に沿って臨界集合を押し上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 2$ において、$\mathbb{P}^k$ 上の正則写像族における $J^*$-安定性は、$\mathbb{P}^1$ の場合と同様に稠密のままであろうか？
• RQ2 $k \geq 2$ および $d \geq 2$ において、有限な臨界集合が存在しないにもかかわらず、$\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 内に開な分岐集合が存在し得るか？
• RQ3 $J^*$ 内の後期臨界集合と双曲的反発的リピーターとの間で、どのような条件下で持続的交わりが生じるか？
• RQ4 臨界集合と横断的交わる性質を持つブレーダー（太ったカントール集合）を、正則力学系において体系的に構成可能か？
• RQ5 $\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 内で、分岐locusの閉包がその内部の閉包であるか、あるいは安定性が依然として稠密な領域が存在するか？

主な発見

• $k \geq 2$ および $d \geq 2$ において、$\mathcal{H}_d(\mathbb{P}^k)$ 内の分岐locus は空でない内部を持つ。これは、1次元における稠密性定理の高次元版が誤りであることを反証する。
• 位相的メカニズムを用いて、ホモロジー的制約から生じる $J^*$ 内の動的多様体が後期臨界集合と交わらざるを得ないことを示し、開な分岐集合を構成した。
• 固定点 $z_0$ が弱く反発的（$1 < |p'(z_0)| < 1.01$）で、$\kappa$ が大きいような形の写像 $(p(z), w^d + \kappa)$ に対して、$J^*$ 内の後期臨界集合と双曲的反発的リピーターとの間で、持続的交わりを確立した。
• 太ったカントール集合（複素ブレーダー）を用いた構成により、微小摂動に対しても臨界集合と横断的交わる性質を保証し、開近傍内で分岐が持続することを実現した。
• $k=2$ から高次元への結果の拡張は、臨界集合をファイバー積構造に沿って押し上げ、反復写像による像を分析することで達成された。
• 予想では、積写像および Latt\`{e} マップの分岐locusの閉包において分岐が稠密であることが示唆されており、強靭な分岐の広範な存在を示唆している。