[論文レビュー] Non-Derivability Results in Polymorphic Dependent Type Theory

Geuvers, Herman|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2026

Logic, programming, and type systems被引用数 0

ひとこと要約

本論文は、多相依存型理論における帰納法・共帰納法・商の非導出性を示す対ファ一ルモデルを提示し、どの拡張が真に必要かを分析する。

ABSTRACT

In the pure Calculus of Constructions (CC) one can define data types and function over these, and there is a powerful higher order logic to reason over these functions and data types. This is due to the combination of impredicativity and dependent types, and most of these features can already be observed in polymorphic (second order) dependent type theory $λ$P2. The impredicative encoding of data types (in $λ$P2 or CC) is powerful but not fully satisfactory: for example, the induction principle is not provable. As a matter of fact, it can be shown that induction is not provable for whatever possible representation of data types. In a recent paper, Awodey, Frey and Speight show that in an extension of $λ$P2 with Sigma-types, identity types with uniqueness of identity proofs and function extensionality, it is possible to define data types for which the induction principle is provable. More recently it has been shown that in this extension of $λ$P2, also quotient types can be defined with the proper induction principle, and, using quotient types, coinductive types can be defined with the proper coinduction principle. This leaves various questions open: Are quotient types with induction principle not definable in the original $λ$P2? And how about coinductive types, is it impossible to get a strong coinduction principle in $λ$P2? Looking at it from the other side: which of the extensions used are really needed to make induction and coinduction work? In this paper, we contribute partial answers to these questions: parametric quotient types are not definable in $λ$P2 and the well-known definable stream type does not have a coinduction principle. For the latter question we show that, if we just extend $λ$P2 with Sigma-types and identity types with uniqueness of identity proofs, we still cannot prove an induction principle for the natural numbers. So function extensionality is crucial in making induction provable. We show these results by studying models of $λ$P2 where the types representing these principles are empty, so these models act as counter models to the derivability of the principles.

研究の動機と目的

• 第二次依存型理論（lambda P2）において、データエンコード戦略に関係なく帰納法が導出不能であることを動機づけ formalize する。
• lambda P2内で、帰納法と共帰納型を用いた商型を定義できるか、それとも拡張を要するかを調査する。
• どの拡張（Sigma-type、UIPを伴う等価性型、関数的拡張性）が実際に帰納法または共帰納原理を回復するのに必要かを評価する。
• 純粋な lambda P2 またはその控えめな拡張において、これらの原理の非導出性を強制する対モデルを提供する。

提案手法

• 指定された原理の非導出性を示す構文的対モデル（WECAベースの realizability モデル）を構築する。
• lambda P2内のパラメトリック商と非パラメトリック商を定義・分析し、基礎理論における不在を実証する。
• デフィナブルなストリーム型が最終的な共代数（final co-algebra）でないことを示し、共帰納原理の欠如を示す。
• 拡張（Sigma-type、UIPを伴う等価性型、FunExt）を検討し、自然数の帰納法は FunExt なしには未証明のままであることを強調し、FunExt の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lambda P2でパラメトリック商タイプを定義できるか。
• RQ2 lambda P2における自然数の標準エンコーディングに対して帰納原理は導出不能でないか。
• RQ3 商型および共帰納型はlambda P2で definable か、FunExt、UIP、Sigma-type などの拡張を要するのか。
• RQ4 この枠組みで帰納原理を回復するために必要な最小の拡張は何か。
• RQ5 well-known な definable なストリームは、lambda P2ベースのモデルで最終的な共代数または共帰納原理を満たすか。

主な発見

• 純粋な lambda P2 にはパラメトリック商型は存在しないことが、対モデルの構成で示されている。
• 標準的に定義されたストリーム型は最終的な共代数ではなく、共帰納原理を満たさない。
• Sigma-typeとUIPを伴う等価性型を lambda P2 に拡張しても、自然数の帰納法は関数拡張性なしには未証明のままである。
• 関数拡張性は、本拡張で帰納法を得るために不可欠である。
• 対モデルは構文的（WECAベース）であり、帰納法と共帰納法が通常成立する拡張的パラメトリックモデルとは異なる。