[論文レビュー] Non-deterministic chaos

David Dixon|ArXiv.org|Aug 3, 1993

Neural Networks and Applications参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、小さな摂動（たとえば熱雑音など）がランダムに軌道の結果を決定する可算個の「感受性のある意思決定点」（SDP）を特徴とする、低次元の力学系のクラス「非決定的カオス」を導入する。著者らは、このような系を分析する統計的枠組みを提示し、SDP付近の力学が決定論的方程式にかかわらず確率的遷移を示すことを実証する。

ABSTRACT

Non-deterministic chaos is a form of low-dimensional dynamics which is characterized by the existence of a countable set of {\em sensitive decision points} (SDP's). Away from these points, the dynamics is well-behaved. Near these points, however, perturbations (e.g., thermal noise) may cause the outgoing trajectory to be chosen randomly. An example of a non-deterministic chaotic system is given, and a statistical method of analyzing the resultant dynamics is developed.

研究の動機と目的

• カオスが決定論的感度からではなく、離散的な点における確率的分岐から生じるような、力学系の新しいクラスを形式化すること。
• 特定の点における小さな摂動が予測不能でランダムな軌道選択を引き起こす系をモデル化する課題に対処すること。
• 感受性のある意思決定点（SDP）付近での非決定的挙動を分析するための統計的手法を開発すること。
• 理論的枠組みを検証するための、非決定的カオス系の明確な例を提示すること。
• 意思決定点に起因するランダム性という新しいメカニズムを通じて、低次元系における決定論的力学と確率的挙動を結びつけること。

提案手法

• 相空間内に存在する孤立した点として「感受性のある意思決定点」（SDP）を特定・定義し、そこでは系の将来の軌道が確率的に決定されることを特徴づける。
• SDPを除く領域では力学を決定論的とみなすが、外部の摂動（たとえば熱雑音など）によってSDPで確率的性質を導入する。
• 統計力学の原則を用いて、各SDPを通過後の出力軌道の確率分布を記述する。
• 非決定的カオスの最小モデルとして、明示的なSDPを備えた一次元写像を構築する。
• 遷移確率と長期的挙動の統計を計算するための統計的分析枠組みを適用する。
• SDP間の決定論的進化であるにもかかわらず、系がカオス的統計的性質を示すことを示すことで、モデルを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的力学系が、連続的な感度ではなく、孤立した点における確率的分岐によってカオス的挙動を示すことは可能か？
• RQ2 低次元系における感受性のある意思決定点（SDP）において、熱雑音などの摂動が軌道選択にどのように影響するか？
• RQ3 離散的な点における非決定的遷移を分析するための統計的枠組みとして、どのようなものがあるか？
• RQ4 可算無限個のSDPとそれ以外で決定論的進化を示す系は、決定論的カオスと類似した性質を示すか？
• RQ5 測定可能な統計的結果を得られるように、単純で解析可能なモデルを構築できるか？

主な発見

• 系は、それ以外の部分が決定論的であるにもかかわらず、可算無限個の感受性のある意思決定点（SDP）でランダムな軌道選択を経て、非決定的カオスを示す。
• 熱雑音などの摂動により、SDPで複数の可能な出力軌道のうち非ゼロの確率で選択が行われ、系に確率的性質が導入される。
• 統計的分析枠組みは、確率的遷移下での系の長期的挙動を的確に捉えており、エルゴード的性質に類似した特徴を示す。
• モデルは、従来の初期条件に対する決定論的感度がなくても、低次元系がカオス的統計的挙動を示しうることを示している。
• SDPの存在により、基礎方程式が完全に決定論的であっても、離散的な点で予測可能性が崩れる。
• 系の力学は、確率的写像に従って進化する軌道の確率分布として特徴づけられ、個々の軌道の予測不能さにもかかわらず、統計的予測が可能になる。