[論文レビュー] Non-divergence Parabolic Equations of Second Order with Critical Drift in Lebesgue Spaces

Gong Chen|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、放物型スケーリング不変条件下のLebesgue空間における、臨界的漂流項を有する2階非発散型放物型方程式に対して、内部ハーナック不等式を確立する。既存の結果を拡張し、漂流項の最小限の可積分性仮定の下で、ホルダー連続性と関連する楕円型作用素に対する普遍的スペクトルギャップを、成長定理とアレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ型推定に基づいて証明する。

ABSTRACT

We consider uniformly parabolic equations and inequalities of second order in the non-divergence form with drift \[-u_{t}+Lu=-u_{t}+\sum_{ij}a_{ij}D_{ij}u+\sum b_{i}D_{i}u=0\,(\geq0,\,\leq0)\] in some domain $Q\subset \mathbb{R}^{n+1}$. We prove growth theorems and the interior Harnack inequality as the main results. In this paper, we will only assume the drift $b$ is in certain Lebesgue spaces which are critical under the parabolic scaling but not necessarily to be bounded. In the last section, some applications of the interior Harnack inequality are presented. In particular, we show there is a "universal" spectral gap for the associated elliptic operator. The counterpart for uniformly elliptic equations of second order in non-divergence form is shown in \cite{S10}.

研究の動機と目的

• 放物型スケーリング下での臨界的Lebesgue空間における非発散型放物型方程式の内部ハーナック不等式の確立。
• 有界または亜臨界的漂流項を超えて、$ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ となる臨界ケースへの2階放物型方程式理論の拡張。
• 漂流項 $ b \in L^p_x L^q_t $ に対して最小限の可積分性条件が満たされる場合の解のホルダー連続性の証明。
• 関連する楕円型作用素に対して普遍的スペクトルギャップが存在することの示唆。これは、楕円型ケースにおける結果の一般化である。
• 非発散型楕円型方程式に対してサフォノフが得た結果（$ b \in L^n $ の場合）の放物型対応の提供。

提案手法

• ランドイスおよびフェレッティ＝サフォノフの成長定理を用いて、解が正または負である集合の測度を制御する。
• 放物型スケーリング不変枠組みを採用し、$ \|b\|_{L^p_x L^q_t} < \infty $ かつ $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ を仮定することで、放物型再スケーリング下での臨界性を保証する。
• 修正されたアレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ＝クリロフ＝ツォ推定を用いて、右辺の $ L^n_x L^\infty_t $ ノルムと漂流項を用いて、劣解の上界を評価する。
• 時間区間の符号 $ u_t $ に基づく分解を導入し、積分恒等式を用いて解の時間的挙動を制御する。
• カウチ＝シュバルツおよびホルダーの不等式を、適切に選んだ試験関数 $ g(\xi,h) = (|\xi|^n + \mu^n)^{-1} $ と併用して、超レベル集合の測度に対する下界を導出する。
• 上界 $ \sup u $ を含む対数的推定を導出し、これを指数化することで、漂流項およびデータノルムの関数としての最終的な $ L^\infty $ 界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型スケーリング下で、漂流項 $ b $ が臨界的Lebesgue空間にある場合に、非発散型放物型方程式に対して内部ハーナック不等式を確立できるか。
• RQ2 このような臨界的漂流項条件下で、解の正則性（例えばホルダー連続性）はどのように保証されるか。
• RQ3 臨界的漂流項領域における放物型方程式に関連する楕円型作用素に対して、普遍的スペクトルギャップが存在するか。
• RQ4 成長定理およびプッチ型推定は、可測係数と臨界的漂流項を持つ非発散型形式にどのように適合されるか。
• RQ5 放物型スケーリングは、漂流項の $ L^p_x L^q_t $ ノルムの臨界性をどのように維持するか。

主な発見

• 内部ハーナック不等式が成立：$ \sup_{Q^0} u \leq N \inf_{Q_r} u $、ここで $ N = N(n, \nu, p, q, S) $、$ S = \|b\|_{L^p_x L^q_t} $、臨界的スケーリング条件 $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ を満たす。
• ハーナック不等式と漂流項ノルムの臨界性の結果として、解は内部でホルダー連続である。
• 関連する楕円型作用素に対して普遍的スペクトルギャップが存在する。これは、第一固有値が特定の係数に依存せず、ゼロから離れていることを意味する。臨界的漂流項条件のもとで成立する。
• アレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ＝クリロフ＝ツォ推定が、臨界的漂流項を有する放物型設定に拡張され、$ \sup_Q u \leq N r \|f\|_{L^n_x L^\infty_t} $ を得る。ここで $ N $ は $ n, \nu, \|b\|_{L^n_x L^\infty_t} $ に依存する。
• 証明は、時間区間の新規積分分解と、測度の超レベル集合に対する対数的下界を導出するための巧みな試験関数に依存する。
• 臨界ケース $ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} = 1 $ が鋭いことが示された。$ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} > 1 $ の場合、不連続解が存在しうるが、$ \frac{n}{p} + \frac{2}{q} < 1 $ の場合、解は滑らかである。