[論文レビュー] Non-elementary proper forcing notions

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 1997

Advanced Topology and Set Theory参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、$({\rm H}(\theta),\ni)$ の初等部分モデルでない可算モデルにも適用可能な、非初等的正則性（nep）およびソウリン非初等的正則性（snep）を導入する。nep の強制的性質が可算台所反復で保存されることを確立し、ある c.c.c. 理想に関する正性を保存するならば、すべての正のボレル集合の正性も保存するという二分法を示している。

ABSTRACT

We present reasons for developing a theory of forcing notions which satisfy the properness demand for countable models which are not necessarily elementary submodels of some (H(chi), in). This leads to forcing notions which are ``reasonably'' definable. We present two specific properties materializing this intuition: nep (non-elementary properness) and snep (Souslin non-elementary properness). For this we consider candidates (countable models to which the definition applies), and the older Souslin proper. A major theme here is ``preservation by iteration'', but we also show a dichotomy: if such forcing notions preserve the positiveness of the set of old reals for some naturally define c.c.c. ideals, then they preserve the positiveness of any old positive set. We also prove that (among such forcing notions) the only one commuting with Cohen is Cohen itself.

研究の動機と目的

• $({\rm H}(\theta),\ni)$ の初等部分モデルでない可算モデルに対しても拡張可能な強制理論を構築すること。
• nep（非初等的正則性）および snep（ソウリン非初等的正則性）という二つの新しい性質を導入・分析し、正則性の自然な一般化とすること。
• 可算台所反復における nep 強制的性質の保存定理を確立し、反復の過程で主な性質が保たれることを保証すること。
• 二分法を証明する：nep 強制が c.c.c. 理想に関する正性を保存するならば、$^\omega\omega$ 内の任意の正のボレル集合の正性も保存する。
• c.c.c. nep 強制の中でコーエン強制と可換となる強制的性質は何かを調査し、nep フレームワーク内でそれらを特徴づけること。

提案手法

• 理想の予密度を用いて $q$ が $(N,{\bf Q})$-generic であることを定義し、$N[G]$ の代わりに $N\langle G\rangle$ を用いて非初等的モデルを扱う。
• 性質が異なるモデル間で保存されるように保証するため、$K$-絶対的 nep の概念を導入する。
• 可算台所反復における $p \in \operatorname{Lim}(\bar{\mathbb{Q}})$ に対して $p^{\langle\langle N\rangle\rangle}$ の概念を用い、nep 性を維持する。
• nep 強制の下で何が保存されるかを分析するため、閉包作用 $({\rm cl}_1, {\rm cl}_2)$ を定義する。
• c.c.c. 理想の枠組みを適用し、ある正の集合の正性を保存するならば、すべての正のボレル集合の正性も保存することを証明する。
• モデル理論的技法を用いて一般化された実数やそれらによって生成される部分強制を分析し、特にソウリンおよび c.c.c. 性質の文脈で考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 c.c.c. 理想に関する正性を保存する任意の nep 強制的性質は、$^\omega\omega$ 内のすべての正のボレル集合の正性も保存するか？
• RQ2 どの強制的性質がコーエン強制と可換であり、nep フレームワーク内でそれらを特徴づけられるか？
• RQ3 snep 強制のクラスは、特に $\theta = \kappa = \aleph_0$ の場合に、nep 強制のクラスよりも厳密に大きいと見なせるか？
• RQ4 ソウリン c.c.c. 強制的性質が新しい実数を加えるならば、関連するボレル代数もまたソウリン c.c.c. であるか？
• RQ5 nep 強制の理論を、バウムガルトナーの公理における $\lambda$-完全な強制的性質へ一般化できるか？

主な発見

• nep 強制的性質は可算台所反復で保存され、$p^{\langle\langle N\rangle\rangle}$ の構成により主な性質が維持される。
• 二分法が成立する：nep 強制が c.c.c. 理想に関する正性を保存するならば、$^\omega\omega$ 内のすべての正のボレル集合の正性も保存する。これは文献に既知の結果を一般化する。
• c.c.c. nep 強制の中でコーエン強制と可換となる唯一の強制的性質は、コーエン強制そのものである。
• ソウリン c.c.c. 強制的性質が新しい実数を加えるが、$\sigma$-中心的な上界実数を加えないならば、新しい実数によって生成される $\sigma$-中心的な部分強制が加わる。
• $\theta = \kappa = \aleph_0$ の場合に、snep 強制のクラスは nep 強制のクラスを厳密に含むことが示され、問題13.14に肯定的に答えている。
• $K$-絶対的 nep の理論により、nep の主要な性質が異なるモデル間で保存されることを保証し、理論の頑健性と定義可能性を高めている。