[論文レビュー] Non-Elitist Genetic Algorithm as a Local Search Method

Anton V. Eremeev|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Metaheuristic Optimization Algorithms Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トーナメント選択を用いた反復的非エリート的遺伝的アルゴリズム（GA）が多項式期待時間内で局所最適解に収束する十分条件を確立している。GLO（保証された局所最適解を有する）クラスに属する問題—例としてMax CutやVertex Cover—に対して、適切なパrameter設定により、アルゴリズムが平均的に多項式時間内で定数近似比を達成する解を得られることを証明している。

ABSTRACT

Sufficient conditions are found under which the iterated non-elitist genetic algorithm with tournament selection first visits a local optimum in polynomially bounded time on average. It is shown that these conditions are satisfied on a class of problems with guaranteed local optima (GLO) if appropriate parameters of the algorithm are chosen.

研究の動機と目的

• 非エリート的遺伝的アルゴリズム（GA）が多項式期待時間内で局所最適解に収束する条件を特定すること。
• NP最適化問題に対して、トーナメント選択を用いた反復的GAを局所探索法として分析すること。
• GLOクラスに属する問題に対して、GAが定数要因内に効率的に近似解を得られることを確立すること。
• 収束時間への局所最適解への到達を分析することで、GAの理論的理解と局所探索行動を橋渡しすること。

提案手法

• 選択確率が適応度値に依存する、反復的非エリート的GAとトーナメント選択を用いる。
• 変異確率 $ P_{\rm m} = K/n $ を用いるビット単位の変異を採用し、$ K $ は近傍半径を表す。
• 期待到達時間の上限を求めるためにドリフト解析技術を適用する。
• 近傍写像が $ K $-有界であることを前提とし、隣接する解間のハミング距離が有界であることを保証する。
• 不可行解に対してペナルティを課す適応度関数を用い、妥当解がより高い適応度を持つようにする。
• 変異によって任意の近傍解が生成される確率を分析し、$ \left(\frac{K}{en}\right)^K $ を下限として確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エリート的GAにトーナメント選択を適用した場合、どのような条件下で多項式期待時間内で局所最適解に収束するか？
• RQ2 反復的GAにトーナメント選択を適用した場合、GLOクラスの問題に対して定数要因内に効率的に近似解を得られるか？
• RQ3 変異確率 $ P_{\rm m} = K/n $ の選択が、収束時間および局所最適解への到達確率に与える影響は何か？
• RQ4 近傍構造（例：$ K $-有界性）とGAの局所探索法としての効率性との関係は何か？
• RQ5 GAにエリート主義が存在しない場合、多項式時間内で良好な局所最適解に到達できるか？

主な発見

• 十分な条件下で、反復的非エリート的GAにトーナメント選択を適用した場合、局所最適解に到達する期待時間が多項式的に有界である。
• GLOクラスに属する問題に対して、パrameterを適切に設定すれば、アルゴリズムは多項式期待時間内で定数近似比を達成する。
• 変異演算子に $ P_{\rm m} = K/n $ を用いることで、$ K $-有界近傍内での任意の近傍解の生成確率に下限 $ \left(\frac{K}{en}\right)^K $ が保証される。
• 初期集団に少なくとも1つの妥当解が含まれていれば、エリート主義がなくても結果は成立する。
• 解析により、GAがGLO問題に対して局所探索法として動作することが確認され、収束時間は入力サイズの多項式関数として有界である。
• 理論的枠組みは、最大化問題および最小化問題の両方へ拡張可能であり、同じ収束保証が得られる。