[論文レビュー] Non-emptiness of Brill-Noether loci in M(2,K)

Herbert Lange, P. E. Newstead+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、滑らかな複素曲線 $C$ における安定なランク2ベクトル束で判別式が canonical であるもののモジュライ空間 $M(2,K)$ における Brill-Noether 細胞 $B(2,K,k)$ の空でないことを確立する。Hecke 対応 $H$ を用いて、基本的クラス $b_H(k)$ を定義し、$B(2,K,k) \neq \emptyset$ が成り立つための必要十分条件として $b_H(k) \neq 0$ を示す。この計算的基準により、$k \leq 7$ のとき一般曲線に対して、および明示的な genus 範囲内での Petri 曲線に対して、Bertram-Feinberg-Mukai 予想が確認される。

ABSTRACT

Let C be a smooth projective complex curve of genus $g\geq2$. We investigate the Brill-Noether locus consisting of stable bundles of rank 2 and canonical determinant having at least $k$ independent sections. Using the Hecke correpondence we construct a fundamental class, which determines the non-emptiness of this locus at least when $C$ is a Petri curve. We prove that in many expected cases the Brill-Noether locus is non-empty. For some values of $k$ the result is best possible.

研究の動機と目的

• 一般曲線 $C$ に対して、$g \geq 3$ のとき、安定なランク2束で判別式が canonical であるものについて、Bertram-Feinberg-Mukai 予想の (i) 部分、すなわち Brill-Noether 細胞 $B(2,K,k)$ の空でなさを解決すること。
• 自然なコンパクト化 $\overline{M}(2,K)$ の特異点を避けるために、Hecke 対応 $H$ を用いた空でなさの計算的基準を確立すること。
• $b_H(k) \neq 0$ ならば $B(2,K,k) \neq \emptyset$ であることを証明し、特に Petri 曲線および一般曲線に対して成立することを示すこと。
• 判別式が $K(p)$ であるモジュライ空間 $M(2,K(p))$ に結果を拡張し、空でなさが成り立つならば、各成分の次元が $\beta(2,K,k)+1$ 以上であることを示すこと。

提案手法

• Hecke 対応 $H$ を、$M(2,K)$ の滑らかで射影的コンパクト化として定義し、$H$ 内の Brill-Noether 細胞 $B_H(k)$ に対して基本的クラス $b_H(k)$ を構成する。
• 一般曲線 $g \geq 3$ に対して、$B(2,K,k) \neq \emptyset$ が成り立つための必要十分条件として $b_H(k) \neq 0$ を示す（$g=k=4$ を除く）。
• $H$ のコホモロジーが完全に知られていることを利用して、$b_H(k) \neq 0$ の非消滅性を、素数 $g$ を法とする二項係数および階乗のモジュラー算術計算に還元する。
• 素数 genus $g$ の場合、$M_0 + M_{(g-1)/2} + M_{g-1} \mod g$ の和を分析することで計算を簡略化する。ここで $M_j$ は特定の二項係数の線形結合である。
• Maple を用いた記号計算により、$10 \leq k \leq 24$ の範囲で、$3g'_k - 3 \geq \frac{k(k+1)}{2}$ を満たす最小の素数 $g'_k$ を用いて、行列式の非消滅性をチェックし、$b_H(k) \neq 0$ を確認する。
• $M(2,K(p))$ に結果を適用する際は、$\pi_1: H \to M(2,K(p))$ を介して $B_H(k)$ を射影し、$B(2,K(p),k) \neq \emptyset$ であり、各成分の次元が $\beta(2,K,k)+1$ 以上であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 安定なランク2束で判別式が canonical であるものについて、$M(2,K)$ 内の Brill-Noether 細胞 $B(2,K,k)$ が空でない条件は何か？
• RQ2 $B(2,K,k)$ の空でなさが、Hecke 対応 $H$ のコホモロジーにおける基本的クラスによって決定できるか？
• RQ3 $b_H(k) \neq 0$ が、一般曲線に限らずすべての Petri 曲線に対しても空でなさを示すのか？
• RQ4 与えられた $k$ に対して、$B(2,K,k) \neq \emptyset$ が成り立つ最小の genus $g_k$ は何か、特に $g$ が素数の場合に注目する。
• RQ5 $M(2,K(p))$ 内の $B(2,K(p),k)$ の成分の次元は、期待される次元 $\beta(2,K,k)$ と比べてどうなるか？

主な発見

• 一般曲線 $g \geq 3$ かつ $k \leq 7$ の場合、$\beta(2,K,k) \geq 0$ のとき $B(2,K,k) \neq \emptyset$ であるという予想は、$B(2,K,k) \neq \emptyset \iff b_H(k) \neq 0$ の同値性により完全に証明される。
• 任意の Petri 曲線に対して、$g$ が奇素数で、$g-1 \geq \max\left\{\frac{k(k-1)}{4}, 2k-1\right\}$ ならば $B(2,K,k) \neq \emptyset$ である。これは Teixidor の条件 $g \geq \frac{k^2}{4}$ よりも改善されている。
• $10 \leq k \leq 24$ の範囲で、$3g'_k - 3 \geq \frac{k(k+1)}{2}$ を満たす最小の素数 $g'_k$ を用いて Maple を用いた記号計算により $b_H(k) \neq 0$ を計算的に確認し、その結果 $B(2,K,k) \neq \emptyset$ であることが示される。
• $M(2,K(p))$ において、$b_H(k) \neq 0$ ならば $B(2,K(p),k) \neq \emptyset$ であり、すべての成分の次元は $\beta(2,K,k)+1$ 以上である。これは期待される次元よりも厳密に大きい。
• 一般曲線 $g \geq 3$ かつ $k \geq 2$ の場合、$B(2,K(p),k)$ の次元は $\beta(2,K,k)+k$ で上から抑えられる。これは実際の次元が期待される次元に比べて大きくはないと示している。
• 一部のケースでは結果が最良である：$k=11,15,16,20,24$ の場合、計算された $g'_k$ は $3g'_k - 3 \geq \frac{k(k+1)}{2}$ を満たす最小の整数であるため、これらのケースでは予想が完全に確認されている。