[論文レビュー] Non-equilibrium dynamics in Ising like models with biased initial condition

Reshmi Roy, Parongama Sen|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2021

Opinion Dynamics and Social Influence参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、非平衡状態のゼロ温度Glauberダイナミクスを、偏りのある初期条件をもつイジング模型で検討し、固定点の安定性と排出確率E(x₀)に注目する。平均場理論と格子シミュレーションを用いて、z=2ではスピンの磁化保存によりE(x₀) = x₀であることが示され、z > 2では非線形かつ有限サイズ依存の排出確率となり、スケーリング変数y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν}を用いた普遍スケーリング関数f(y) = [1 + tanh(λy)]/2に収束することが判明。このことは、異なる模型や格子構造において普遍的な臨界指数が存在することを示している。

ABSTRACT

We investigate the dynamical fixed points of the zero temperature Glauber dynamics in Ising-like models. The stability analysis of the fixed points in the mean field calculation shows the existence of an exponent that depends on the coordination number $z$ in the Ising model. For the generalised voter model, a phase diagram is obtained based on this study. Numerical results for the Ising model for both the mean field case and short ranged models on lattices with different values of $z$ are also obtained. A related study is the behaviour of the exit probability $E(x_0)$, defined as the probability that a configuration ends up with all spins up starting with $x_0$ fraction of up spins. An interesting result is $E(x_0) = x_0$ in the mean field approximation when $z=2$, which is consistent with the conserved magnetisation in the system. For larger values of $z$, $E(x_0)$ shows the usual finite size dependent non linear behaviour both in the mean field model and in Ising model with nearest neighbour interaction on different two dimensional lattices. For such a behaviour, a data collapse of $E(x_0)$ is obtained using $y = \frac{(x_0 - x_c)}{x_c}L^{1/ u}$ as the scaling variable and $f(y)=\frac{1+ anh(\lambda y)}{2}$ appears as the scaling function. The universality of the exponent and the scaling factor is investigated.

研究の動機と目的

• 偏りのある初期スピン密度をもつイジング模型におけるゼロ温度Glauberダイナミクスの動的固定点の安定性を分析すること。
• 協調数zが排出確率E(x₀)に与える影響を調査し、z=2を超えて磁化保存が成立するかどうかを検討すること。
• スケーリング変数y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν}と普遍スケーリング関数f(y) = [1 + tanh(λy)]/2を用いて、E(x₀)の有限サイズスケーリング形式を導出し、検証すること。
• 平均場理論と短距離相互作用模型の両方において、臨界指数νとλが普遍的であることを確立すること。
• 平均場的固定点安定性解析を用いて、一般化されたボルダー模型の相図を描出すること。

提案手法

• 協調数zに基づくスピン反転確率を用いて、平均場近似における上向きスピンの割合x(t)のマスター方程式を導出する。
• マスター方程式から時間発展dx/dtを計算し、z = 4以上のとき、固定点x* = 0, 0.5, 1を特定する。
• x = x* + δ(t)と摂動を加え、駆動項の微分の符号を評価することで、固定点まわりの線形安定性解析を行う。
• 正方格子および三角格子、および平均場状態におけるイジング-Glauber模型の数値的シミュレーションを実施し、さまざまな系サイズにおけるE(x₀)を計算する。
• 有限サイズスケーリングを適用し、スケーリング変数y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν}を導入し、関数形f(y) = [1 + tanh(λy)]/2を用いてデータの収束を検証する。
• z = 2, 4, 6および異なる格子タイプ間で抽出された指数νとλを比較し、普遍性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 排出確率E(x₀)は、すべての協調数zに対して線形（E(x₀) = x₀）に保たれるのか、それともz > 2で非線形的になるのか？
• RQ2 平均場イジング模型におけるx* = 0.5の固定点の性質は、zに依存してどのように変化するのか。その安定性はzに依存するか？
• RQ3 スケーリング変数y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν}を用いて、異なるzおよび格子タイプにおいてE(x₀)の有限サイズスケーリングを普遍関数に収束させることができるか？
• RQ4 スケーリング収束から抽出された臨界指数νとλは、平均場モデルと短距離相互作用モデルの両方で普遍的か？
• RQ5 一般化されたボルダー模型の相図は、平均場フレームワークにおける固定点の安定性解析からどのように導かれるか？

主な発見

• z = 2のとき、平均場イジング模型は磁化を保存し、E(x₀) = x₀となる。これは1次元イジング模型およびボルダー模型と整合的である。
• z > 2のとき、固定点x* = 0.5は不安定化し、有限サイズ効果を伴う非線形な排出確率行動に移行することが示された。
• 正方格子および三角格子（z = 4およびz = 6）におけるE(x₀)の数値結果は、強い有限サイズ依存性を示し、データは普遍スケーリング関数f(y) = [1 + tanh(λy)]/2に収束した。
• スケーリング変数y = (x₀ − x_c)/x_c L^{1/ν}における指数ν′は、平均場状態ではzに依存しないが、2次元格子の結果とは異なる値を示した。
• 関数f(y) = [1 + tanh(λy)]/2は、異なるzおよび格子タイプ間でデータをうまく収束させることができ、スケーリング形式の普遍性を示している。
• 熱力学的極限において、z > 2ではE(x₀)が段階関数に収束することが示唆され、x* = 0.5固定点の不安定性と整合的である。