[論文レビュー] Non Equilibrium Green's Functions for Dummies: Introduction to the One Particle NEGF equations

Magnus Paulsson|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2002

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用数 37

ひとこと要約

このチュートリアル論文は、バイアスが印加されたナノスケールコンダクタにおける電流および電荷密度を計算するための1粒子非平衡グリーン関数（NEGF）方程式の明快で直感的な導出を提供する。接触からの自己エネルギーがデバイスのグリーン関数をどのように変更するかを説明し、レタードグリーン関数と準位幅化演算子を介してランドアウアーの公式が得られることを示している。

ABSTRACT

Non equilibrium Green's function methods are regularly used to calculate current and charge densities in nanoscale (both molecular and semiconductor) conductors under bias. This method is mainly used for ballistic conduction but may be extended to include inelastic scattering. In this tutorial paper the NEGF equations for the current and charge density matrix are derived and explained in a hopefully clear way.

研究の動機と目的

• 分子および半導体ナノエレクトロニクス分野の研究者に対して、非平衡グリーン関数（NEGF）のアクセス可能で直感的な導入を提供すること。
• 形式的展開よりも物理的直感を重視しながら、電流および電荷密度行列のNEGF方程式を段階的に導出すること。
• レタードグリーン関数と接触からの自己エネルギーを用いることで、多数体問題を完全に解かずに輸送特性を計算可能にすることを示すこと。
• 形式的枠組みをランドアウアーの公式に結びつけ、NEGFと標準的輸送理論の間の橋渡しをすること。

提案手法

• 接触（1,2）、デバイス（d）、結合項（τ₁, τ₂）からなる3部構造のハミルトニアンを用いた離散シュレーディンガー方程式を使用する。
• 全グリーン関数Gを(E - H)G = Iにより定義し、デバイスグリーン関数のダイソン方程式G_d = (E - H_d - Σ₁ - Σ₂)^{-1}を導出する。
• 自己エネルギーΣ_j = τ_j^† g_j τ_jを導入し、g_jは分離した接触のグリーン関数である。これにより、接触がデバイスに与える影響を記述する。
• 連続の式と演算子の恒等式を用いて、密度行列の時間発展から電流の確率を導出する。
• 接触jからデバイスへの電流をi_j = -ie/ℏ (⟨ψ_j|τ_j|ψ_d⟩ - ⟨ψ_d|τ_j^†|ψ_j⟩)として表現し、ランドアウアーの公式に至る。
• エネルギーとフェルミ分布f(E, μ)についての積分を実行し、全電流I = (e/πℏ)∫dE (f(μ₁) - f(μ₂)) Tr(G_d^† Γ₂ G_d Γ₁)を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナノスケール系における1粒子輸送の非平衡グリーン関数形式は、どのように直感的に導出され、解釈できるか？
• RQ2 レタードグリーン関数と自己エネルギーが、量子デバイスにおける接触効果をモデル化する上で果たす物理的役割は何か？
• RQ3 ナノスケールコンダクタを通過する電流は、グリーン関数と結合行列からどのように生じるか？
• RQ4 レタードグリーン関数と準位幅化を用いて、NEGFフレームワークからランドアウアーの公式はどのように導出されるか？
• RQ5 マルチターミナル系において、確率電流とグリーン関数の行列要素との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• デバイスグリーン関数はダイソン方程式G_d = (E - H_d - Σ₁ - Σ₂)^{-1}により得られ、自己エネルギーΣ_j = τ_j^† g_j τ_jが接触効果を符号化している。
• 接触jからデバイスへの電流はi_j = (e/ℏ)⟨ψ_j|τ_j G_d^† Γ_j G_d τ_j^† |ψ_j⟩で与えられ、Γ_j = i( g_j - g_j^† )は準位幅化を表す。
• 全電流はI = (e/πℏ)∫dE (f(μ₁) - f(μ₂)) Tr(G_d^† Γ₂ G_d Γ₁)として導出され、標準的なランドアウアーの公式と一致する。
• レタードグリーン関数を用いることで、多数体固有値問題を完全に解かずに電流および電荷密度を計算可能である。
• 導出過程から、電流は入射波と出射波の干渉によって生じており、グリーン関数が散乱および透過特性を符号化していることが明らかになる。
• レタードグリーン関数の使用により因果律が保証され、リードにおける出射波に対応し、物理的輸送計算に不可欠である。