[論文レビュー] Non-equilibrium stochastic dynamics in continuum: The free case

Yuri Kondratiev, Eugene Lytvynov+1 more|ArXiv.org|Jan 25, 2007

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体 $X$ 上の一般のマルコフ過程 $M$ に従う自由粒子の非平衡確率的ダイナミクスを記述する新しい状態空間フレームワーク $\Theta_\alpha$ を導入する。このフレームワークでは、初期状態が $\Theta_\alpha$ に属する無限粒子系が、曖昧位相における右連続で左極限を持つ（cadlag）または連続な標本経路を有することを保証する条件を確立し、ブラウン運動、グローバーおよびカワスキーのダイナミクスに対する結果を一般化する。

ABSTRACT

We study the problem of identification of a proper state-space for the stochastic dynamics of free particles in continuum, with their possible birth and death. In this dynamics, the motion of each separate particle is described by a fixed Markov process $M$ on a Riemannian manifold $X$. The main problem arising here is a possible collapse of the system, in the sense that, though the initial configuration of particles is locally finite, there could exist a compact set in $X$ such that, with probability one, infinitely many particles will arrive at this set at some time $t>0$. We assume that $X$ has infinite volume and, for each $α\ge1$, we consider the set $Θ_α$ of all infinite configurations in $X$ for which the number of particles in a compact set is bounded by a constant times the $α$-th power of the volume of the set. We find quite general conditions on the process $M$ which guarantee that the corresponding infinite particle process can start at each configuration from $Θ_α$, will never leave $Θ_α$, and has cadlag (or, even, continuous) sample paths in the vague topology. We consider the following examples of applications of our results: Brownian motion on the configuration space, free Glauber dynamics on the configuration space (or a birth-and-death process in $X$), and free Kawasaki dynamics on the configuration space. We also show that if $X=\mathbb R^d$, then for a wide class of starting distributions, the (non-equilibrium) free Glauber dynamics is a scaling limit of (non-equilibrium) free Kawasaki dynamics.

研究の動機と目的

• 連続体における自由粒子の非平衡確率的ダイナミクスに適した状態空間を同定すること。ここで、粒子の生成・消滅・運動はマルコフ過程 $M$ に従う。
• コンパクト集合に無限に多くの粒子が集中する「系の崩壊」問題を、全配置空間の部分集合に初期配置を制限することによって解決すること。
• 無限粒子系が選択した状態空間 $\Theta_\alpha$ にすべての時間において留まるように保証し、局所的有限性と位相的正規性を維持すること。
• 得られた粒子系の標本経路が曖昧位相において cadlag または連続であることを確立すること。これは確率的解析にとって不可欠である。
• グローバーおよびカワスキーのダイナミクスといった特定のダイナミクスに関する結果を統一・一般化し、それらの間のスケーリング極限を示すこと。

提案手法

• $\alpha \geq 1$ に対して、任意の球 $B(r)$ 内の粒子数が $B(r)$ の体積の $\alpha$ 乗に比例する定数倍以下であるような無限配置の集合として $\Theta_\alpha$ を定義する。
• 固定された点 $x_0 \in X$ を中心とする入れ子構造の閉球の族を用いて状態空間 $\Theta_\alpha$ を構成し、ポアソン配置が全測度を有するように十分大きな集合とする。
• 過程 $M$ に一般条件（遷移密度の有界性、体積成長の制約など）を課し、過程が $\Theta_\alpha$ に崩壊しないように保証する。
• 生成関数技法とモーメント母関数の推定を用いて、コンパクト集合内の粒子数を制御し、基礎となる過程 $M$ の構造を活用する。
• 確率測度の配置空間における弱収束と緊密性の議論を用いて、近似過程（例：カワスキーからグローバーへのダイナミクス）の収束を証明する。
• $M$ の生成作用素の2次量子化を用いて無限粒子系を定義し、近似と極限定理を用いてその経路の正則性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルコフ過程 $M$ にどのような条件を課すと、初期状態が $\Theta_\alpha$ に属する無限粒子系がすべての時間において $\Theta_\alpha$ に留まるか？
• RQ2 初期状態が $\Theta_\alpha$ に属する場合、無限粒子系が曖昧位相において cadlag または連続な標本経路を持つとは限らないか？
• RQ3 $\mathbb{R}^d$ 上で、自由カワスキーのダイナミクスが $\varepsilon \to 0$ のスケーリング極限として自由グローバーのダイナミクスにどのようにして現れるか？
• RQ4 多様体 $X$ の体積成長と $M$ の遷移密度が、粒子の崩壊を防ぐ役割を果たすか？
• RQ5 $\Theta_\alpha$ は任意の強度を持つポアソン測度を支持する十分な大きさを持ち、物理的に意味のある初期状態を捉えられるか？

主な発見

• $\alpha = 1$ のとき、任意の強度 $z > 0$ に対して $\Theta_1$ は全ポアソン測度を持つため、初期状態として自然な候補である。
• 遷移密度および体積成長に関する一定の条件を満たす広範なマルコフ過程 $M$ に対して、初期状態が $\Theta_\alpha$ に属する無限粒子系は、すべての時間において $\Theta_\alpha$ に almost surely 留まる。
• $M$ が cadlag 経路を持つ場合、系は曖昧位相において cadlag 標本経路を持つ。より強い $M$ の仮定のもとでは連続経路が得られる。
• $\mathbb{R}^d$ 上の自由グローバーのダイナミクスは、ジャンプレート $\varepsilon \to 0$ のスケーリング極限として自由カワスキーのダイナミクスから得られることを示した。
• 有限次元分布の収束と測度の緊密性から、近似されたカワスキー過程の有限次元分布がグローバー過程のそれらに弱収束することが示された。
• 本フレームワークはブラウン運動、グローバー、カワスキーのダイナミクスに一様に適用可能であり、連続体における非平衡確率的ダイナミクスの統一的状態空間と経路正則性理論を提供する。