[論文レビュー] Non-ergodic actions, cocycles and superrigidity

David Fisher, Dave Witte Morris+1 more|ArXiv.org|Feb 9, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、非エルゴディックな作用におけるボレルコサイクルのための超剛性定理を確立する。非エルゴディックな作用の解析をエルゴディック成分に還元することで、すべての構成対象の可測性を保証する。もしコサイクルがほとんどすべてのエルゴディック成分上で自己同型写像に同調するならば、それが全体として自己同型写像に同調することを示し、超剛性を非エルゴディックな設定へと拡張する。

ABSTRACT

This paper proves various results concerning non-ergodic actions of locally compact groups and particularly Borel cocycles defined over such actions. The general philosophy is to reduce the study of the cocycle to the study of its restriction to each ergodic component of the action, while being careful to show that all objects arising in the analysis depend measurably on the ergodic component. This allows us to prove a version of the superrigidity theorems for cocycles defined over non-ergodic actions.

研究の動機と目的

• 既存の文献において、非エルゴディックな作用におけるコサイクルの超剛性定理が欠落しているという問題に対処すること。
• 非エルゴディックな作用におけるコサイクル解析を、可測性を保ったままエルゴディック成分に還元する枠組みを構築すること。
• 全体のコホモロジー的性質（例えば、自己同型写像への同調）が、成分ごとの振る舞いから導かれる可能性を証明すること。
• 関連研究（例：[FM] における研究）の証明を簡略化するために、非エルゴディックな設定において直接的に超剛性を適用可能にする応用を提供すること。

提案手法

• ボレル作用のエルゴディック分解を用いて、各エルゴディック成分ごとにコサイクルを別々に分析する。
• バナッハ空間の選択定理（von Neumann 選択定理）を適用し、解析的集合から可測な選択子を抽出することで、エルゴディック成分に依存する可測性を保証する。
• コサイクル還元補題および代数的ハルの性質を用いて、成分上でのコサイクル構造を制御する。
• リー群作用における安定化部分群の次元および成分数のボレル可測性（補題 5.7 を用いて）を用いて、可測不変量を定義する。
• 全空間から成分の安定化部分群に関連する射影空間へと、本質的に等変なボレル写像を構成する。
• 各成分における代数的ハル構造が、全空間にわたって一様な代数的部分群へと持ち上がることを示し、全体のコホモロジーを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コサイクルの超剛性定理は、エルゴディックな作用から非エルゴディックな作用へと拡張可能か？
• RQ2 各エルゴディック成分上で自己同型写像に同調するコサイクルが、全体としても自己同型写像に同調可能となる条件は何か？
• RQ3 エルゴディック成分上の可測構造を、どのようにして全体の作用へ一様に持ち上げられるか？
• RQ4 安定化部分群の次元や連結成分数といった可測不変量は、エルゴディック成分間で保存されるか？
• RQ5 各エルゴディック成分において、標準的ボレル $G$-空間への可測な商が存在するならば、それが全体の作用に対しても可測な商をもたらすか？

主な発見

• ボレルコサイクル $\alpha$ がほとんどすべてのエルゴディック成分上で別のコサイクル $\beta$ に同調するならば、$\alpha$ は全体としても $\beta$ に同調する（定理 3.6）。
• コサイクル $\alpha$ のほとんどすべてのエルゴディック成分への制限が、自己同型写像に同調するならば、$\alpha$ は全体としても自己同型写像に同調する（定理 3.11）。
• 群 $G$-作用の各エルゴディック成分が、標準的ボレル $G$-空間 $X$ を可測な商として持つならば、$X$ は全体の作用に対しても可測な商である（定理 5.4）。
• エルゴディック成分上でのコサイクルの代数的ハルは、次元および連結成分数が制御された、全体の代数的部分群へと同調するコサイクルを構成するために用いることができる。
• リー群作用における安定化部分群の次元および連結成分数は、空間上の点の関数としてボレル関数である（補題 5.7）。
• 点 $\rho, \tau, \alpha$-等変なボレル写像が、全空間から不変部分空間の射影空間へと存在するならば、それが全体のコホモロジー還元を可能にする。