[論文レビュー] Non-Euclidean method of the generalized geometry construction and its application to space-time geometry

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Feb 19, 2007

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、世界関数を用いたユークリッド幾何の変形によって一般化された幾何構成法を非ユークリッド的に行う手法を提案する。この手法により、多価な時空幾何を定式化できる。主な貢献は、量子現象（例えば、粒子の質量や運動量）を歪んだ世界関数を通じて幾何的性質と結びつけることであり、歪みパラメータがプランク定数に関連づけられることで、非リーマン的枠組みにおいて量子挙動の幾何的基盤を提供する。

ABSTRACT

Non-Euclidean method of the generalized geometry construction is considered. According to this approach any generalized geometry is obtained as a result of deformation of the proper Euclidean geometry. The method may be applied for construction of space-time geometries. Uniform isotropic space-time geometry other, than that of Minkowski, is considered as an example. The problem of the geometrical objects existence and their temporal evolution may be considered in the constructed space-time geometry. Such a statement of the problem is impossible in the framework of the Riemannian space-time geometry. Existence and dynamics of microparticles is considered to be conditioned by existence of corresponding geometrical objects and their temporal evolution in the space-time. Geometrization of the particle mass and its momentum is produced.

研究の動機と目的

• 座標や公理的体系に依存しない一般化された幾何構成法の開発。
• 世界関数を用いたユークリッド幾何の変形により、多価性を有する時空幾何を再定式化すること。
• 粒子の質量や運動量といった量子現象を、時空の構造を通じて幾何学的に説明すること。
• 力学的力ではなく、幾何的対象の存在と運動を、素粒子物理学の根本的要因とすること。
• 確率的粒子集合の作用と特定の世界関数の歪みを結びつけることで、量子力学に幾何的基盤を提供すること。

提案手法

• すべての一般化幾何を、点間の距離を定義する世界関数 σ(P,Q) を用いたユークリッド幾何の変形によって構築する。
• 世界関数 σ を唯一の幾何的不変量として用い、従来の公理や座標系に代わる。σ(P,Q) = σ(Q,P) および σ(P,P) = 0 を満たす。
• スカラー積とベクトル長は、σ(P,Q) = ½ρ²(P,Q) を用いて世界関数から導出され、明示的な座標なしにベクトル空間構造を実現する。
• 多価性（複数の測地線が2点を結ぶ）を導入する。これはリーマン幾何では存在しないが、量子挙動に不可欠な性質である。
• 世界関数における歪み d = λ₀² を d = ħ/(2bc) に設定し、幾何と量子力学とをプランク定数および幾何的質量パラメータ b を通じて結びつける。
• 確率的粒子集合の作用を幾何学的に導出し、流れが無渇い場合にシュレーディンガー方程式に同等の流体力学方程式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標系や公理的分離に依存せずに、一般化された幾何を体系的に構築できるか？
• RQ2 時空幾何における多価性が、粒子の質量や運動量といった量子現象をどのように説明できるか？
• RQ3 変形された世界関数の観点から、シュレーディンガー方程式の幾何的起源は何か？
• RQ4 粒子の統計的集合の運動を、完全に幾何的原理から導出できるか？
• RQ5 粒子の質量や運動量を、時空内における対応する幾何的対象の幾何的不変量として理解できるか？

主な発見

• 世界関数 σ(P,Q) が幾何を完全に決定し、座標系や公理的一致性の確認の必要がなくなる。
• 多価性は変形幾何において自然に出現し、粒子軌道の不確実性といった量子挙動の幾何的起源と特定される。
• 世界関数における歪みパラメータ d = λ₀² = ħ/(2bc) は、幾何的構造と量子力学とを結びつける。ここで b は幾何的質量と物理的質量を関連付ける定数である。
• 確率的粒子集合の作用から導かれる流体力学的方程式は、流れが無渇い場合にシュレーディンガー方程式と同等となる。
• 粒子の質量と運動量は、粒子の世界線の幾何的特徴であることが示され、力学的性質ではない。
• 素粒子物理学における閉じ込め問題は、力に基づく力学的問題ではなく、時空内における複雑な対象の幾何的存在問題として再解釈される。