[論文レビュー] Non-Extendability of Holomorphic Functions with Bounded or Continuously Extendable Derivatives

Dionysios Moschonas, Vassili Nestoridis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 4被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、複素平面内の領域の閉包上で、ある順序までの導関数が有界または連続的に拡張可能な正則関数の非拡張可能性を調査する。この空間における非拡張可能な関数の集合が空集合であるか、あるいは $G_\delta$ かつ稠密であることを証明し、自然な導関数制約の下で非拡張可能な正則関数の位相的一般性を確立する。

ABSTRACT

We consider the spaces $H_{F}^{\infty}(\Omega)$ and $\mathcal{A}_{F}(\Omega)$ containing all holomorphic functions $f$ on an open set $\Omega \subseteq \mathbb{C}$, such that all derivatives $f^{(l)}$, $l\in F \subseteq \mathbb{N}_0=\{ 0,1,...\}$, are bounded on $\Omega$, or continuously extendable on $\overline{\Omega}$, respectively. We endow these spaces with their natural topologies and they become Fr\'echet spaces. We prove that the set $S$ of non-extendable functions in each of these spaces is either void, or dense and $G_\delta$. We give examples where $S=\varnothing$ or not. Furthermore, we examine cases where $F$ can be replaced by $\widetilde{F}=\{ l\in \mathbb{N}_0:\min F \leqslant l \leqslant \sup F\}$, or $\widetilde{F}_0= \{l\in \mathbb{N}_0:0\leqslant l \leqslant \sup F\}$ and the corresponding spaces stay unchanged.

研究の動機と目的

• 有界または連続的に拡張可能な導関数によって定義される空間における非拡張可能な正則関数の集合の位相的構造を分析すること。
• これらの関数空間において、非拡張可能な関数の集合が稠密または空集合である条件を特定すること。
• 与えられた添字集合 $F$ を $\widetilde{F}$ や $\widetilde{F}_0$ に置き換えても関数空間が保存されるかどうかを調査すること。
• 関数空間 $H_F^\infty(\Omega)$ や $\mathcal{A}_F(\Omega)$ がこのような添字集合の変更によって変わらない条件を特定すること。

提案手法

• 複素数平面の領域 $\Omega \subseteq \mathbb{C}$ 上の正則関数空間 $H_F^\infty(\Omega)$ および $\mathcal{A}_F(\Omega)$ を、$F \subseteq \mathbb{N}_0$ に対して導関数 $f^{(l)}$ が有界または連続的に拡張可能であるものとして定義する。
• これらの空間に、コンパクト集合上での導関数の上界を測るセミノルムによって誘導される自然なFréchet位相を導入する。
• Baireのカテゴリー理論を適用し、非拡張可能な関数の集合 $S$ がこれらの空間において空集合であるか、あるいは稠密かつ $G_\delta$ であることを示す。
• 具体的な例を構成することで、$S = \varnothing$ および $S \ne \varnothing$ の場合を示し、位相的結果の鋭さを裏付ける。
• 添字集合 $F$ を $\widetilde{F} = \{l \in \mathbb{N}_0 : \min F \leq l \leq \sup F\}$ や $\widetilde{F}_0 = \{l \in \mathbb{N}_0 : 0 \leq l \leq \sup F\}$ に置き換えた場合の関数空間への影響を分析する。
• ある条件下で、$F$ を $\widetilde{F}$ や $\widetilde{F}_0$ に置き換えても、$H_F^\infty(\Omega)$ や $\mathcal{A}_F(\Omega)$ の空間が変わらないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数空間 $H_F^\infty(\Omega)$ や $\mathcal{A}_F(\Omega)$ における非拡張可能な正則関数の集合が空でない条件は何か？
• RQ2 これらの空間において、非拡張可能な関数の集合は常にFréchet位相で稠密かつ $G_\delta$ であるか？
• RQ3 関数空間を変更せずに、添字集合 $F$ を $\widetilde{F}$ や $\widetilde{F}_0$ に置き換えることは可能か？
• RQ4 関数空間 $H_F^\infty(\Omega)$ や $\mathcal{A}_F(\Omega)$ がこのような添字集合の置き換えによって変わらないための必要十分条件は何か？
• RQ5 非拡張可能関数の空間の位相的性質は、導関数の添字集合 $F$ の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 関数空間 $H_F^\infty(\Omega)$ や $\mathcal{A}_F(\Omega)$ における非拡張可能な関数の集合 $S$ は、Fréchet位相において空集合であるか、あるいは稠密かつ $G_\delta$ である。
• すべての関数が $\Omega$ の外に拡張可能な領域 $\Omega$ と添字集合 $F$ が存在し、この場合 $S = \varnothing$ となる。
• 一方で、$S \ne \varnothing$ となる領域と添字集合の組も存在し、非拡張可能な関数がこのような場合に位相的に一般であることを示している。
• 条件を満たす場合、$\widetilde{F} = \{l \in \mathbb{N}_0 : \min F \leq l \leq \sup F\}$ に $F$ を置き換えても、空間 $H_F^\infty(\Omega)$ や $\mathcal{A}_F(\Omega)$ は保存される。
• $\widetilde{F}_0 = \{l \in \mathbb{N}_0 : 0 \leq l \leq \sup F\}$ に置き換えても空間が保存されるが、これは $F$ の下限が 0 であるか、または空間が 0 階微分から $\sup F$ 階微分までの導関数によって定義されている場合に限る。
• 空間に自然なFréchet位相が導入されていれば、$F$ の具体的な構造にかかわらず、位相的一般性の結果は成り立つ。