[論文レビュー] Non-faithful representations of surface groups into SL(2,C) which kill no simple closed curve

Daryl Cooper, Jason Fox Manning|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の本質的単純閉曲線を消滅させない、SL(2,ℂ)への非忠実な表面群の表現を構成し、PSL(2,ℂ)を標的とする単純ループ予想のバージョンに対する反例を提供する。特徴的多様体における次元論を用いて、 género ≥4 の曲面に対して、このような表現が非可算に多く存在することを示し、ミンスキーの予想を反証するとともに、像に非自明な楕円的元が含まれない場合でさえ、核の元が単純曲線を含むとは限らないことを示している。

ABSTRACT

We give counterexamples to a version of the simple loop conjecture in which the target group is PSL(2,C). These examples answer a question of Minsky in the negative.

研究の動機と目的

• 表面群から PSL(2,ℂ) への非単射な準同型が、ある本質的単純閉曲線を消滅させなければならないというミンスキーの予想を反証すること。
• 任意の本質的単純閉曲線が ±I や有限位数の元に写らない非忠実な表面群の SL(2,ℂ) 表現の明示的例を構成すること。
• 特徴的多様体における次元論的議論を用いて、このような表現の同値類が非可算に存在することを示すこと。
• 分離曲線 Z に対してトレースが 2 である文字の集合が、代数的構造のさらなる研究を支援する形で既約であることの証明。

提案手法

• SL(2,ℂ) への表現の特徴的多様体 X(π₁Σ) を分析し、分離曲線 C に対してトレースが 2 である文字の部分集合 Z に注目する。
• ある本質的単純閉曲線を消滅させる文字の集合 Y と、楕円的元を含む像を持つ文字の集合 E を定義し、これらを避ける表現を特定する。
• genus ≥4 のとき、複素次元において Y が、実次元において E が、それぞれ Z よりも次元が低いことを次元数え上げにより示す。
• 代数幾何学的道具を用いる：Z の滑らか部分が連結であることから、複素代数的集合が既約であることの必要十分条件を適用する。
• 古典的な位相的結果（射影多様体における真の代数的部分集合の補集合が連結であること）を用いて、Z ∖ (Y ∪ E) が空でないことを示す。
• Z ∖ (Y ∪ E) に属する文字は、任意の本質的単純閉曲線が ±I や有限位数の元に写らない非単射な表現を導くことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面群から PSL(2,ℂ) への非単射な準同型は、必ずある本質的単純閉曲線を消滅させるのか？
• RQ2 任意の本質的単純閉曲線が ±I や有限位数の元に写らない非忠実な表面群の SL(2,ℂ) 表現を構成できるか？
• RQ3 単一の曲線も消滅させない表現の特徴的多様体の次元は何か？ そして、全特徴的多様体と比べてどうか？
• RQ4 分離曲線に対してトレースが 2 である文字の集合は、代数的集合として既約か？
• RQ5 このような表現は、像に非自明な楕円的元を含まない形で構成可能か？

主な発見

• genus が 4 以上の曲面に対して、θ: π₁Σ → SL(2,ℂ) なる非単射な準同型が存在し、θ(α) = ±I となるのは α が本質的単純閉曲線でない場合に限る。
• ある本質的単純閉曲線を消滅させる文字の集合 Y は、複素次元で dimℂ Z − 1 以下であり、Z の部分集合として低次元であることを示す。
• 像に楕円的元を含む文字の集合 E は、genus ≥4 のとき、実次元で dimℝ Z − 1 以下であり、特徴的多様体においてはまれな表現であることを示す。
• 分離曲線 C に対してトレースが 2 である特徴的多様体の部分集合 Z は、滑らか部分が連結で、稠密かつ開であるため、既約である。
• このような表現の同値類は非可算に存在し、特徴的多様体における次元論的議論により示された。
• この構成により、PSL(2,ℂ) における単純ループ予想に関するミンスキーの問いに否定的な答えが得られ、この設定では予想が成立しないことが示された。