[論文レビュー] Non-Friedrichs Self-adjoint extensions of the Laplacian in R^d

Paul Lin|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、原点を除いた $\mathbb{R}^d$ 上のラプラシアンの非フレドリクス自己共役拡張を分類し、$d=3$ の場合、それらが $\theta \ in [-\pi, \pi)$ または $\mu \ in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ でパラメータ化されることを示している。これらの拡張は、通常のシュレーディンガー作用素とは異なり、単一の固有値または単一の共鳴状態を持つ。波カーネルは、留数理論と線分積分を用いて明示的に計算されている。

ABSTRACT

This is an expository paper about self-adjoint extensions of the Laplacian on R^d, initially defined on functions supported away from a point. Let L be the Laplacian with domain smooth functions with compact support away from the origin. We determine all the self-adjoint extensions of L by calculating the deficiency subspaces of the closure of L. In the case d=3, the self-adjoint extensions are parametrized by a circle, or equivalently by the real line plus a point at infinity. We show that the non-Friedrichs extensions have either a single eigenvalue or a single resonance. This is of some interest since self-adjoint Schrödinger operators $Δ+V$ on R^d either have no resonance (if $V\equiv 0$) or infinitely many (if $V ot\equiv 0$). For these non-Friedrichs self-adjoint extensions, the kernel of the resolvent is calculated explicitly. Finally we use this knowledge to study a wave equation involving these non-Friedrichs extensions, and explicitly determine the wave kernel.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上で $C_c^\infty(\mathbb{R}^d \setminus \{0\})$ に定義されたラプラシアンのすべての自己共役拡張を分類すること。
• $\overline{L}$ の欠損部分空間を特定し、フォン・ノイマンの理論を用いてすべての自己共役拡張をパラメータ化すること。
• これらの拡張のスペクトル性質、特に固有値や共鳴状態の存在を分析し、標準的なシュレーディンガー作用素とは対照的に比較すること。
• 線分積分と留数理論を用いて、非フレドリクス拡張の波カーネルを明示的に計算すること。

提案手法

• 欠損部分空間 $\mathscr{K}_+$ と $\mathscr{K}_-$ 間のユニタリ写像を用いて、フォン・ノイマンによる自己共役拡張の分類を利用する。
• $ (i - L^*)\psi = 0 $ および $ (i + L^*)\psi = 0 $ を $L^2(\mathbb{R}^d)$ 内で解くことで、欠損部分空間を計算する。
• $W^{2,2}$-ノルムの完備化を適用し、$\overline{L}$ の定義域を特定する。$d > 4$ および $d = 4$ の場合、$D(\overline{L}) = W^{2,2}(\mathbb{R}^d)$ であるが、$d < 4$ の場合、より小さい。
• $d=3$ の場合、$\theta \in [-\pi, \pi)$ または $\mu \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ を用いて拡張をパラメータ化する。ここで $\mu$ は散乱位相に関連する。
• 積分表現と線分変形を用いて、$ (L^\mu - \lambda^2)^{-1} $ のリゾルベントカーネルを明示的に計算する。
• 逆フーリエ変換と留数計算を用いて、波カーネル $ \frac{\sin(t\sqrt{L^\mu})}{\sqrt{L^\mu}} $ を評価し、$\mu$ の符号に応じた場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d \setminus \{0\})$ を定義域とする $\mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ 上のラプラシアンのすべての自己共役拡張は何か？
• RQ2 これらの拡張のスペクトル的性質—固有値や共鳴状態—は、標準的なシュレーディンガー作用素 $\Delta + V$ とはどのように異なるか？
• RQ3 $d=3$ の非フレドリクス拡張に対して、波カーネル $ \frac{\sin(t\sqrt{L^\mu})}{\sqrt{L^\mu}} $ の明示的形は何か？
• RQ4 パrameter $\mu$ に依存する波カーネルは、特に $\mu > 0$（共鳴）および $\mu < 0$（固有値）の場合にどのように変化するか？
• RQ5 潜在的な特異性にもかかわらず、波カーネルが $t = |x| + |y|$ の集合上で消えるのはなぜか？そして、線分変形によってこの問題はどのように解決されるか？

主な発見

• $d > 4$ および $d = 4$ の場合、$\overline{L}$ の定義域は $W^{2,2}(\mathbb{R}^d)$ であるが、$d < 4$ の場合、より小さい。
• $d=3$ の場合、非フレドリクス自己共役拡張 $L^\mu$ は $\mu \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ でパラメータ化され、$\mu = \infty$ はフレドリクス拡張に対応する。
• これらの拡張は、$\mu < 0$ のとき単一の固有値、$\mu > 0$ のとき単一の共鳴状態を持つが、通常のシュレーディンガー作用素とは対照的である。
• 波カーネル $ \frac{\sin(t\sqrt{L^\mu})}{\sqrt{L^\mu}} $ は、$\mu > 0$ および $t \geq 0$ の場合、$ \frac{H(t - |x| - |y|) e^{\mu(|x| + |y| - t)}}{4\pi |x| |y|} $ という明示的カーネルを持つ。これは $t = |x| + |y|$ を除く領域で有効である。
• $\mu < 0$ の場合、固有関数の寄与と線分積分項の組み合わせにより、$\mu > 0$ の場合と同じ式が得られ、符号にかかわらず一貫性が保証される。
• 波カーネルは $t = |x| + |y|$ 上で有限であり、この点での値は無視可能（零集合）とみなされ、したがってこの集合上に分布的台を持たない。