[論文レビュー] Non-globally Lipschitz Counterexamples for the stochastic Euler scheme

Martin Hutzenthaler, Arnulf Jentzen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、係数が超線形に増加する確率微分方程式（SDEs）に対して、確率的オイラースキームが強いL^p意味でも、数値的に弱い意味でも真の解に収束しないことを示している。著者らは、正確な解と数値近似との間の誤差が無限大に発散することを示す反例を提示しており、このようなSDEsにおける収束に関する未解決の問題を解決している。

ABSTRACT

The stochastic Euler scheme is known to converge to the exact solution of a stochastic differential equation with globally Lipschitz coefficients and even with coefficients which grow at most linearly. For super-linearly growing coefficients convergence in the strong and numerically weak sense remained an open question. In this article we prove for many stochastic differential equations with super-linearly growing coefficients that Euler’s approximation does not converge neither in the strong L p-sense nor in the numerically weak sense to the exact solution. Even worse, the difference of the exact solution and of the numerical approximation diverges to infinity in the strong L p-sense and in the numerically weak sense. 1

研究の動機と目的

• 超線形に増加する係数を有するSDEsに対して確率的オイラースキームの収束が成り立つかどうかという未解決問題に取り組む。
• 係数が線形より速く増加する場合のオイラースキームの挙動を調査し、収束が以前に証明されていなかったケースを対象とする。
• このようなSDEsに対して、強いL^p意味および数値的に弱い意味での収束が成立するかを特定する。
• 正確な解からの数値近似の発散を示す明示的な反例を構築する。
• 急速に増加するドリフトまたは拡散係数を有するSDEsの実用的シミュレーションにおける確率的オイラースキームの限界を明確にする。

提案手法

• 反例としての役立つ超線形に増加する係数を有する特定のSDEの構築。
• これらの構築されたSDEに対して、オイラースキームの強いL^p収束挙動の分析。
• 解の関数への期待値の収束を検討することで、数値的に弱い収束の調査。
• 確率論的および解析的技法を用いて、強い意味および弱い意味の両方で誤差の発散を証明。
• 正確な解と数値解の差の境界および漸近的挙動の確立。
• グローバルリプシッツおよび線形に増加する係数に対する既知の収束結果を用い、超線形の場合と対比する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超線形に増加する係数を有するSDEsに対して、確率的オイラースキームは強いL^p意味で収束するか？
• RQ2 超線形に増加する係数を有するSDEsに対して、オイラースキームは数値的に弱く収束するか？
• RQ3 強い意味および弱い意味の両方で、オイラースキームが真の解から発散する反例を構築できるか？
• RQ4 超線形係数の場合における正確な解とオイラー近似との間の誤差の漸近的挙動は何か？
• RQ5 急速に増加する係数を有するSDEsにオイラースキームを適用する際に、根本的な制限は存在するか？

主な発見

• 超線形に増加する係数を有するSDEsに対して、確率的オイラースキームは強いL^p意味で正確な解に収束しない。
• 構築された反例において、正確な解とオイラー近似との間の誤差は強いL^p意味で無限大に発散する。
• 超線形に増加する係数が存在する場合、数値的に弱い収束も失敗する。
• 誤差の発散は期待値の関数への収束に対しても発生し、数値的に弱い意味での失敗を示している。
• これらの結果により、このようなSDEsにおいて収束が保証されないことが証明され、未解決の問題が解決された。
• 正確な解と数値解との差が無限大に発散する明示的な反例が提示された。