[論文レビュー] Non-harmonic cones are Heisenberg uniqueness pairs for the Fourier transform on $\mathbb R^n$

R. K. Srivastava|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Numerical methods in inverse problems参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ℝⁿ 内の錐が、任意の斉次調和多項式の零点集合に完全に含まれない限り、フーリエ変換に対してヘイゼンベルク一意性ペア（HUP）であることを確立している。球面調和関数、ベッセル関数、およびファンク＝ヒッケの恒等式を用いて、そのような錐に台を持つ任意の有限Borel測度が、集合Λ上でフーリエ変換が消えるならば、それは恒等的にゼロでなければならないことを証明しており、既知の結果を非調和的錐および2次元球面上の測地的球面へと拡張している。

ABSTRACT

In this article, we prove that a cone is a Heisenberg uniqueness pair corresponding to sphere as long as the cone does not completely recline on the level surface of any homogeneous harmonic polynomial on $\mathbb R^n.$ We derive that $\left(S^2, ext{ paraboloid} ight)$ and $\left(S^2, ext{ geodesic of } S_r(o) ight)$ are Heisenberg uniqueness pairs for a class of certain symmetric finite Borel measures in $\mathbb R^3.$ Further, we correlate the problem of Heisenberg uniqueness pairs to the sets of injectivity for the spherical mean operator.

研究の動機と目的

• ℝⁿ 内の錐がフーリエ変換に対してヘイゼンベルク一意性ペア（HUP）である条件を同定すること。
• HUPフレームワークを調和的または対称的表面に限らず、一般の非調和的錐へと拡張すること。
• 球面調和関数とベッセル関数が錐上に台を持つ測度の一意性を決定する役割を調査すること。
• HUP問題と球面平均作用素の単射性との関係を結びつけること。
• 回転や線形変換などの群作用と不変性が、高次元におけるHUP構造に与える影響を調査すること。

提案手法

• 球面調和関数を用いて錐上の測度を分解し、ファンク＝ヒッケの恒等式を適用してフーリエ変換とベッセル関数を関連付ける。
• 球面調和関数の直交性およびベッセル関数の性質を用いて、フーリエ変換の消滅条件を導出する。
• 角変数と径方向パラメータでの統合を用いて、錐上の表面測度のフーリエ変換の振る舞いを分析する。
• L²空間におけるベッセル関数のノルムの極限を適用して、すべてのフーリエ係数が消えることを導く。
• ベッセル関数が高々可算個の零点しか持たないという事実を用いて、係数関数が恒等的にゼロでなければならないことを結論づける。
• 回転および線形変換における不変性原理を適用して、ℝ³ での結果をℝⁿ へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝⁿ 内の錐が、有限Borel測度のフーリエ変換に対してヘイゼンベルク一意性ペア（HUP）であるのはどのような条件下か？
• RQ2 ベッセル関数およびルジャンドル関数の零点は、錐または測地的球面上に台を持つ測度の一意性にどのように影響するか？
• RQ3 HUP性質は、任意の斉次調和多項式の等高線集合に含まれない錐へと拡張可能か？
• RQ4 HUP問題と球面平均作用素の単射性との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 SO(n) 及びその部分群の群作用、例えば回転対称性は、対称的表面におけるHUP構造にどのように影響するか？

主な発見

• ℝⁿ 内の錐 C ⊂ ℝⁿ が、任意の斉次調和多項式の零点集合に含まれない限り、単位球面 Sⁿ⁻¹ に対してヘイゼンベルク一意性ペア（HUP）である。
• ℝ³ 内の対称的有限Borel測度のクラスに対して、ペair (S², 放物面) はヘイゼンベルク一意性ペア（HUP）である。
• 球面 S² 上の半径 r の測地的球面に対して、ペair (S², 半径 r の測地的球面) がHUPであるための必要十分条件は、すべての l ∈ ℤ₊ に対して J_{(l+1)/2}(R) ≠ 0 であり、かつ r/R が任意の関連ルジャンドル関数の零点でないことである。
• 錐上に台を持つ測度に対して、フーリエ変換が集合Λ上で消えるならば、錐がすべての斉次調和多項式の等高線集合に含まれない限り、測度はゼロでなければならない。
• この結果は高次元へ拡張可能であり、球面調和関数による分解とベッセル関数解析によって、証明構造が保たれる。
• HUP性質は回転および平行移動に関して不変であり、フーリエ変換の双対性を介して線形変換に対しても不変である。