[論文レビュー] Non-Hermitian Hamilton operator in open quantum systems

I. Rotter|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非エルミートな有効ハミルトニアン $H_{\rm eff}$ を用いたオープンな量子系の記述に、フェシュバッハ射影作用素（FPO）形式を提示する。この形式により、離散状態と共鳴状態が統一され、時間非対称なダイナミクスが捉えられる。主な貢献は、$H_{\rm eff}$ の固有値の複素平面における分岐点が、回避的準位クロッシング、連続体内の束縛状態（BICs）、重なり合う共鳴領域における増幅・加速伝送を説明することにある。これは固有関数の位相が剛体でないことに起因する。

ABSTRACT

In the Feshbach projection operator (FPO) formalism the whole function space is divided into two subspaces. One of them contains the wave functions localized in a certain finite region while the continuum of extended scattering wave functions is involved in the other subspace. The Hamilton operator of the whole system is Hermitian, that of the localized part is, however, non-Hermitian. This non-Hermitian Hamilton operator $H_{ m eff}$ represents the core of the FPO method in present-day studies. It gives a unified description of discrete and resonance states. Furthermore, it contains the time operator. The eigenvalues $z_λ$ and eigenfunctions $ϕ_λ$ of $H_{ m eff}$ are an important ingredient of the $S$ matrix. They are energy dependent. The phases of the $ϕ_λ$ are, generally, nonrigid. Most interesting physical effects are caused by the branch points in the complex plane. On the one hand, they cause the avoided level crossings that appear as level repulsion or widths bifurcation in approaching the branch points under different conditions. On the other hand, observable values are usually enhanced and accelerated in the vicinity of the branch points. In most cases, the theory is time asymmetric. An exception are the ${\cal PT}$ symmetric bound states in the continuum appearing in space symmetric systems due to the avoided level crossing phenomenon in the complex plane. In the paper, the peculiarities of the FPO method are considered and three typical phenomena are sketched: (i) the unified description of decay and scattering processes, (ii) the appearance of bound states in the continuum and (iii) the spectroscopic reordering processes characteristic of the regime with overlapping resonances.

研究の動機と目的

• 標準的なエルミート的アプローチの限界を克服し、オープンな量子系における離散状態と共鳴状態の統一的記述を提供すること。
• PT対称系における連続体内の束縛状態（BICs）の出現を、複素平面における回避的準位クロッシングによって説明すること。
• 重なり合う共鳴領域におけるスペクトル的再順序化と増幅伝送を、非エルミートな $H_{\rm eff}$ を用いて理解すること。
• 非剛体的位相と $H_{\rm eff}$ における時間非対称性の役割を明確にし、観測可能な増幅と量子の最速経路（brachistochrone）的挙動と関連付けること。

提案手法

• フェシュバッハ射影作用素（FPO）手法により、ヒルベルト空間を二つの部分空間に分割する：$Q$（局在状態）と $P$（散乱状態）、ここで $P+Q=1$ である。
• 有効ハミルトニアン $H_{\rm eff}$ は $Q$ 部分空間に対して導出され、$P$ 部分空間との結合のため非エルミート的になる。このハミルトニアンは、離散状態と共鳴状態の両方を記述する。
• $H_{\rm eff}$ の固有値 $z_\lambda = E_\lambda - i\Gamma_\lambda/2$ は複素数であり、実部は共鳴エネルギー、虚部は崩壊幅を表す。
• $S$ 行列は $H_{\rm eff}$ の固有値と固有関数 $\phi_\lambda$ から構成され、極の解析を必要とせず単位性を保証する。
• 複素平面における $z_\lambda$ の分岐点が、回避的準位クロッシング、準位反発、幅の分岐の原因であると特定される。
• 分岐点近くの $\phi_\lambda$ の非剛体的位相により、散乱波関数と整合化され、標準量子力学の予測を超える増幅・加速伝送が実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FPO形式における非エルミートな $H_{\rm eff}$ は、オープンな量子系における離散状態と共鳴状態の記述をどのように統一するのか？
• RQ2 PT対称系における連続体内の束縛状態（BICs）の物理的起源は何か？ また、複素平面における回避的クロッシングとどのように関連するか？
• RQ3 重なり合う共鳴を持つ系では、なぜ伝送が標準量子力学の予測を超えるのか？ そして、この増幅伝送はどのように制御されるのか？
• RQ4 非エルミート性が $H_{\rm eff}$ に内在することで、時間非対称性が自然に導入され、最小伝送時間の実現が可能になる仕組みは何か？

主な発見

• $H_{\rm eff}$ の固有値 $z_\lambda$ は複素数であり、実部は共鳴エネルギー、虚部は崩壊幅に対応する。これにより、離散状態と共鳴状態の統一的記述が可能になる。
• 複素平面における $z_\lambda$ の分岐点が、回避的準位クロッシングと幅の分岐を引き起こし、重なり合う共鳴領域におけるスペクトル的再順序化を説明する。
• 分岐点付近の $\phi_\lambda$ の非剛体的位相により、環境の散乱状態と整合化され、標準量子力学の予測を超える増幅・加速伝送が実現する。
• 時間演算子は $H_{\rm eff}$ に内在しており、これによりダイナミクスに自然な時間非対称性が生じる。これは標準的なエルミート的記述とは対照的である。
• PT対称系における連続体内の束縛状態（BICs）は、選択則による崩壊禁止がなくても、複素平面における回避的クロッシングに起因して生じる。
• 結合強度を調整することで、伝送をパラメトリックに制御可能であり、弱い結合から強い結合への遷移領域で、非エルミート効果によって系が透過的になることが可能になる。