[論文レビュー] Non Hermitian Operators with Real Spectrum in Quantum Mechanics

da Providência, João, Bebiano, Natália+1 more|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Quantum Mechanics and Applications被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、量子力学における実スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンを調査し、$Χ$-エルミート性を可能にする対合的演算子$Χ$の存在が、正定値ノルム演算子$Q$の明確な構成を可能にすることを示している。この$Q$により、標準的な確率論的解釈が保証され、$ΧT$-対称および非$ΧT$-対称なポッショル＝テラー・ハミルトニアンの拡張を含む具体的な例が提示され、$Q$に基づく類似変換により、それらがすべてエルミート型に類似していることが示された。

ABSTRACT

Examples are given of non-Hermitian Hamiltonian operators which have a real spectrum. Some of the investigated operators are expressed in terms of the generators of the Weil-Heisenberg algebra. It is argued that the existence of an involutive operator $\hat J$ which renders the Hamiltonian $\hat J$-Hermitian leads to the unambiguous definition of an associated positive definite norm allowing for the standard probabilistic interpretation of quantum mechanics. Non-Hermitian extensions of the Poeschl-Teller Hamiltonian are also considered. Hermitian counterparts obtained by similarity transformations are constructed.

研究の動機と目的

• 非エルミートハミルトニアンが実スペクトルを有する条件を確立し、標準的な確率論的解釈を可能にする。
• 実固有値を有する非エルミート演算子に対して、正定値ノルムの定義における一意性の欠如という問題を解決する。
• ポッショル＝テラー・ポテンシャルの拡張を含む、このようなハミルトニアンの明示的例を構築し、正定値計量演算子を用いた類似変換により、それらがエルミート演算子に類似していることを示す。
• 対合的演算子$Χ$が存在し、$ΧH = H^\dagger \u03a7$を満たすならば、正定値ノルム$Q$を明確に定義できることが示される。
• 非$ΧT$-対称性を越えたフレームワークを一般化し、実スペクトルを有する非$ΧT$-対称な拡張と、明確な正定値ノルムを有する系を検討する。

提案手法

• 本稿は、$Χ^2 = I$および$ΧH = H^\dagger \u03a7$を満たす対合的演算子$Χ$の存在を用い、$H$のスペクトルが実数であり、$\langle \psi_j| = \eta_j \langle \phi_j|\u03a7$を介して左固有状態系を定義可能であることを保証する。
• $QH = H^\dagger Q$を満たす正定値ヒルベルト演算子$Q$を構築し、関係式$|\psi_j\rangle = \eta_j \u03a7|\phi_j\rangle = Q|\phi_j\rangle$を用いることで、$Q$が$Χ$-構造によって一意に固定されることを保証する。
• 非エルミートな$H$をヒルベルト空間の内積構造を保つ類似変換$\tilde{H} = Q^{1/2} H Q^{-1/2}$により、エルミートな$\tilde{H}$に写像し、スペクトルを保存するとともに、標準的な量子力学的解釈を可能にする。
• ポッショル＝テラー・ハミルトニアンに対しては、$x$における複素シフト（$x \to x - i\alpha$）および$p$回転（$p \to p e^{i\theta}$）を用いた非エルミート拡張を構築し、両者とも実スペクトルを有することを示した。
• 拡張されたハミルトニアン$H_\alpha$および$H_\theta$が、それぞれ$Q = e^{2\alpha p}$および$Q = e^{\theta(px + xp)}$に関して$Q$-エルミートであることを検証し、正定値内積を保証した。
• ノルム演算子$Q$が、$\mathcal{J} \log Q \, \mathcal{J} = -\log Q$を満たすことを確認し、ベンダーの基準に従って計量の完全かつ一意な定義が達成されていることを裏付けた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンは、正定値ノルムを用いて、標準的な量子力学的解釈に一貫して適合可能か？
• RQ2 実固有値を有する非エルミートハミルトニアンに対して、計量演算子$Q$の定義における曖昧性はどのように解消可能か？
• RQ3 対合的演算子$Χ$は、非エルミート系に対して一意な正定値ノルム$Q$を構築するために果たす役割は何か？
• RQ4 ポッショル＝テラー・ポテンシャルの非$ΧT$-対称な拡張は、実スペクトルを保ち、標準的な確率論的解釈を可能にするか？
• RQ5 $Q$-に基づく計量を用いて、実スペクトルを有する非エルミートハミルトニアンを、明示的にエルミート型に写像する類似変換を構築可能か？

主な発見

• 非エルミートハミルトニアン$H = p^2 + x^2 + i x^3$は、非破れ$ΧT$-対称性により実スペクトルを有することを示し、そのスペクトルは類似変換によりエルミート形式に保存されることを示した。
• ポッショル＝テラー・ハミルトニアン$H = p^2 - \gamma(\gamma-1)/\cosh^2 x$の$ΧT$-対称拡張$H_\alpha = p^2 - \gamma(\gamma-1)/\cosh^2(x - i\alpha)$は、元のハミルトニアンと同一の実スペクトルを有し、$Q = e^{2\alpha p}$により正定値ノルムが保証される。
• 非$ΧT$-対称拡張$H_\theta = (\eta + i\zeta)^2 p^2 - \gamma(\gamma-1)/\cosh^2((\eta - i\zeta)x)$（$\eta = \cos\theta$、$\zeta = \sin\theta$、$|\theta| < \pi/4$）も、元のポッショル＝テラー・ハミルトニアンと同一の実スペクトルを有する。
• 類似変換$H_\theta = e^{-\theta/2 (px + xp)} H e^{\theta/2 (px + xp)}$により、$H_\theta$が正定値計量$Q = e^{\theta(px + xp)}$を介してユニタリにエルミート演算子に類似していることが確認され、一貫した確率論的解釈が保証された。
• ノルム演算子$Q$は$Χ$-構造によって一意に決定され、$\mathcal{J} Q \mathcal{J} = Q^{-1}$および$\mathcal{J} \log Q \, \mathcal{J} = -\log Q$を満たし、ベンダーの基準に従って完全かつ一意な計量定義が達成された。
• 本稿は、$Χ$-エルミート構造の存在が、正定値内積$\langle \psi | Q | \phi \rangle$の構築を可能にし、確率振幅$|\langle R_i | \mathcal{J} | \Xi \rangle|^2$が物理的に意味を持つことを示した。