[論文レビュー] Non-hexagonal lattices from a two species interacting system

Senping Luo, Xiaofeng Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2019

Block Copolymer Self-Assembly参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非対称な長距離相互作用を有する三ブロックコポリマーをモデル化する二種類の物質が相互作用する系を研究し、最小エネルギー配置が、制御パラメータ $b$ に応じて非六角形格子（長方形、正方形、ひし形）をとることを示している。主な結果は、六角格子が $b=1$ のみで出現することであり、これは一成分系とは対照的で、一成分系では六角格子秩序が一般に見られる。

ABSTRACT

A two species interacting system motivated by the density functional theory for triblock copolymers contains long range interaction that affects the two species differently. In a two species periodic assembly of discs, the two species appear alternately on a lattice. A minimal two species periodic assembly is one with the least energy per lattice cell area. There is a parameter $b$ in $[0,1]$ and the type of the lattice associated with a minimal assembly varies depending on $b$. There are several thresholds defined by a number $B=0.1867...$ If $b \in [0, B)$, a minimal assembly is associated with a rectangular lattice whose ratio of the longer side and the shorter side is in $[\sqrt{3}, 1)$; if $b \in [B, 1-B]$, a minimal assembly is associated with a square lattice; if $b \in (1-B, 1]$, a minimal assembly is associated with a rhombic lattice with an acute angle in $[\fracπ{3}, \fracπ{2})$. Only when $b=1$, this rhombic lattice is a hexagonal lattice. None of the other values of $b$ yields a hexagonal lattice, a sharp contrast to the situation for one species interacting systems, where hexagonal lattices are ubiquitously observed.

研究の動機と目的

• 非対称な相互作用を有する三ブロックコポリマーにおける周期的マイクロフェーズ分離の出現を理解すること。
• 長距離相互作用を有する二成分系において、最小エネルギー格子構造（長方形、正方形、ひし形）を特定すること。
• 格子の種類が、相互作用非対称性を制御するパラメータ $b \in [0,1]$ にどのように依存するかを特定すること。
• 二成分系では六角格子が一般に出現しない理由を説明すること。これは一成分系とは対照的である。
• 異なる格子種が自由エネルギー汎関数を最小化するための厳密な条件を確立すること。

提案手法

• 二成分を表す $\Lambda$-周期的集合 $\Omega_1, \Omega_2$ を持つ $\mathbb{C}/\Lambda$ 上の変分問題を定式化し、固定された平均面積 $\omega_1, \omega_2$ による制約を課す。
• 自由エネルギー汎関数 $\mathcal{J}_\Lambda$ を定義し、境界項と長距離相互作用項を対称行列 $\gamma$ を用いて結合する。
• 格子双対性と複素解析を用いてエネルギー汎関数を分析し、特にパラメータ $b$ が相互作用非対称性をどのように決定するかに注目する。
• イーゼンスタイン級数とシータ関数を用いた漸近展開および不等式を適用し、候補となる格子間のエネルギー差を評価する。
• 閾値パラメータ $B \approx 0.1867$ を用いて $b$-区間を分割し、最小化格子の種類を分類する。
• 厳密な推定と級数展開を用いて、$T(y) > 0$ が $y \in [\beta, \sqrt{3}]$ で成り立つことを証明し、非六角格子の安定性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称な長距離相互作用を有する二成分系において、どの格子構造が自由エネルギーを最小化するか？
• RQ2 なぜこの二成分系では六角格子秩序が基底状態として出現しないのか？これは一成分系とは対照的である。
• RQ3 制御パラメータ $b$ が長方形、正方形、ひし形格子の間の遷移をどのように制御するか？
• RQ4 相互作用非対称性が、通常六角格子秩序を好む自己組織化系の対称性を破る役割を果たすか？
• RQ5 鋭角が $[\pi/3, \pi/2)$ の範囲にあるひし形格子が、どのような条件下でグローバル最小化子となるか？

主な発見

• $b \in [0, B)$ で $B \approx 0.1867$ のとき、最小エネルギー配置は、長さ比が $[\sqrt{3}, 1)$ の長方形格子に対応する。
• $b \in [B, 1-B]$ のとき、最小エネルギー状態は正方形格子である。
• $b \in (1-B, 1]$ のとき、最小エネルギー格子は、鋭角が $[\pi/3, \pi/2)$ の範囲にあるひし形格子であり、$b=1$ でのみ六角格子に近づく。
• 六角格子は $b \in [0,1)$ の任意の値に対して基底状態ではない。これは一成分系とは明確に対照的であり、一成分系では六角格子秩序が一般的に出現する。
• 級数展開と不等式を用いた厳密な評価により、競合する格子間のエネルギー差が厳密に評価され、パrameter領域全体にわたり非六角格子の安定性が証明された。