[論文レビュー] Non-homeomorphic conjugate complex varieties

Ichiro Shimada|ArXiv.org|Jan 4, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、格子の種数理論を用いて、特異的K3表面とその超越的格子に注目することで、非同相な共役複素代数的多様体を構成する新しい手法を提示する。主な貢献は、単純な特異点をもつ最大化セクシティック曲線の算術的ザリスキ対を明示的に構成することであり、ガロア共役下で位相的不変量が同型であっても、共役曲線は同相でないことを示している。

ABSTRACT

We present a method to produce examples of non-homeomorphic conjugate complex varieties based on the genus theory of lattices. As an application, we give examples of arithmetic Zariski pairs.

研究の動機と目的

• 非同相な共役複素多様体を構成する体系的な手法の開発。
• 同相でない共役多様体の明示的例の不足に対処すること。
• K3表面の算術的幾何と超越的格子を用いて、ガロア共役下での位相的非同型性を検出すること。
• 単純な特異点をもつ最大化セクシティック曲線の間で算術的ザリスキ対の存在を確立すること。

提案手法

• 滑らかな射影多様体 $X$ と codimension-$n$ の部分多様体の和集合 $Y$ の補集合 $U = X \setminus Y$ に対して、位相的不変量 $(B_U, \beta_U)$ を定義する。
• $(B_U, \beta_U)$ が、$H_{2n}(X)$ 内の $Y_i$ のホモロジー類の直交補空間の torsion-free 部分に同型であることを示す。この部分を $\Lambda_{(X,Y)}$ と表記する。
• セクシティック曲線 $C$ に分岐する二重被覆から得られる特異的K3表面 $Y_C$ に関連する超越的格子 $T[C]$ を用いる。
• 補集合 $U_C = Y_C \setminus D_C$ の位相的不変量を $T[C]$ と関連づけ、非同型な $T[C]$ が $U_C$ と $U_{C^\sigma}$ の非同相性を示すことになるようにする。
• ガロア共役下での非同型な格子 $T[C]$ と $T[C^\sigma]$ の検出に、二変数二次形式の種数理論を適用する。
• 楊のアルゴリズムを用いたコンピュータ支援計算により、特定の設定で $T[C]$ の種の同型類が1つより多いことを検証し、算術的ザリスキ対を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的格子理論を用いて、同相でない共役複素多様体の明示的例を構成できるか？
• RQ2 ガロア共役が同相でない複素多様体の条件は何か？
• RQ3 K3多様体内の除法の補集合の位相的不変量 $B_U$ は、共役下での非同相性をどのように検出できるか？
• RQ4 単純な特異点をもつ最大化セクシティック曲線の間に算術的ザリスキ対は存在するか？
• RQ5 格子の種数理論を用いて、このような非同相な共役対を体系的に生成できるか？

主な発見

• 本稿では、格子の種数理論を用いて、非同相な共役複素多様体の明示的例を構成した。
• 34のディンキン型 $R$ の配置について、単純な特異点をもつ最大化セクシティック曲線の算術的ザリスキ対 $(C, C^\sigma)$ を提示した。
• これらの対について、種数理論とコンピュータ支援計算により、超越的格子 $T[C]$ と $T[C^\sigma]$ が非同型であることを確認した。
• 格子 $T[C]$ と $T[C^\sigma]$ は $L[2a,b,2c]$ の形で表現され、$L[6,2,8]$ と $L[2,0,22]$ のような異なる不変量を有することで、非同型性が確認された。
• 表5.1に示された34のすべてのケースで、$T[C]$ の種に同型類が1つより多いことから、このような対の存在が保証された。
• この方法により、超越的格子の種が非自明である場合にのみ、非同相な共役多様体が生じることを確認し、分類のメカニズムを提供した。