[論文レビュー] Non-homogeneous fractional Schrödinger equation

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、マウンテンパス定理とエケランドの変分原理を用いて、非同次分数マトロイドシュレーディンガー方程式に対して、$\mathbb{R}^n$ において少なくとも2つの非自明な解の存在を確立している。ポテンシャル $V(x)$、非線形項 $f(u)$、外部源 $h(x)$ に対して適切な条件下で、著者たちは分数ソボレフ空間 $H^\alpha(\mathbb{R}^n)$ における解の多重性を証明し、従来の結果を自明でない駆動項を含む場合にまで拡張している。

ABSTRACT

In this article we are interested on the non-homogeneous fractional Schrödinger equation \begin{eqnarray}\label{eq00} &(-Δ)^αu(x) + V(x)u(x) = f(u) + h(x) \mbox{ in } \mathbb{R}^{n}. \end{eqnarray} By using mountain pass Thoerem and Ekeland's variational principle, we prove the existence of two nontrivial solutions for ( ef{eq00}).

研究の動機と目的

• 非自明な解が存在しない非同次分数シュレーディンガー方程式に対する存在結果の欠如に応えること。
• 非ゼロの外部源 $h(x)$ が存在する場合に複数の解が存在することを確立すること。
• $h \not\equiv 0$ の非同次ケースに、従来の同次方程式に関する結果を拡張すること。
• 駆動項が存在する状況におけるコンパクト性およびパライス＝スメイル条件を示す課題を克服すること。

提案手法

• 重み付き分数ソボレフ空間 $H_V^\alpha(\mathbb{R}^n)$ において問題を定式化し、ノルムを $\|u\|_V^2 = \int_{\mathbb{R}^n} ((-\Delta)^\alpha u)u \, dx + \int_{\mathbb{R}^n} V(x)u^2 \, dx$ と定義する。
• エネルギー汎関数 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|_V^2 - \int_{\mathbb{R}^n} F(u) \, dx - \int_{\mathbb{R}^n} h(x)u \, dx$ を定義する。
• マウンテンパス定理を適用して、正の臨界値 $c > 0$ における臨界点を確立する。
• 閉球 $\overline{B(0,\varrho)}$ においてエケランドの変分原理を用い、臨界値 $\overline{c} < c$ における第二の臨界点を求める。
• ポテンシャル $V(x)$ の強制性および $L^{2_\alpha^*}$ および $L^2$ へのコンパクト埋め込みを用いて、両臨界値におけるパライス＝スメイル条件を証明する。
• 仮定 $f(0) = 0$、$f(t) = o(|t|)$（$t \to 0$ のとき）、$f(t) = o(|t|^{2_\alpha^*})$（$|t| \to \infty$ のとき）、およびアムブロセッティ＝ラビノウィッツ条件 $\mu F(u) \leq u f(u)$ を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部源 $h \not\equiv 0$ の場合に、非同次分数シュレーディンガー方程式は複数の解をもつか。
• RQ2 マウンテンパス定理とエケランドの原理は、非自明な駆動項を含む場合に解の多重性を示すために適用可能か。
• RQ3 $f$、$V$、$h$ にどのような条件を課すと、$H^\alpha(\mathbb{R}^n)$ 内で幾何的に異なる2つの解が存在するか。
• RQ4 非ゼロの駆動項が変分枠組みにおけるコンパクト性およびパライス＝スメイル条件にどのように影響を与えるか。

主な発見

• 仮定が満たされる限り、$\mathbb{R}^n$ における方程式 $(-\Delta)^\alpha u + V(x)u = f(u) + h(x)$ は少なくとも2つの異なる非自明な解をもつ。
• 最初の解は、正の臨界値 $c > 0$ におけるマウンテンパス定理によって得られ、非ゼロの臨界点を保証する。
• 第二の解は、閉球 $\overline{B(0,\varrho)}$ にエケランドの変分原理を適用することによって得られ、臨界値 $\overline{c} < c$ における臨界点をもたらす。
• ポテンシャル $V(x)$ の強制性および埋め込み $H_V^\alpha(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{2_\alpha^*}(\mathbb{R}^n)$ のコンパクト性により、両臨界値においてパライス＝スメイル条件が成立する。
• 臨界値の厳密な不等式 $\overline{c} < c$ により、臨界点が一致しないことが保証され、2つの異なる解の存在が保証される。
• 従来の同次方程式に関する存在定理は、$h \not\equiv 0$ の非同次ケースに拡張され、これはかつてあまり研究が進んでいなかった分野である。