[論文レビュー] Non-hyperbolic ergodic measures for non-hyperbolic homoclinic classes

Lorenzo J. Díaz, Anton Gorodetski|ArXiv.org|Apr 10, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ ext{Diff}^1(M)$ の残渣的部分集合において、異なる指数をもつサドルを含む任意のホモクラインクラスが、非一様双曲的でない不変・エルゴード的・非双曲的測度（少なくとも1つのリャプノフ指数がゼロ）を必ずもつことを確立する。この結果は、強靱な異次元サイクルと$C^1$-摂動技法を用いて得られ、非一様双曲的領域におけるパライス予想の洗練版を確認する。

ABSTRACT

We prove that for a generic $C^1$-diffeomorphism existence of a homoclinic class with periodic saddles of different indices (dimension of the unstable bundle) implies existence an invariant ergodic non-hyperbolic (one of the Lyapunov exponents is equal to zero) measure of $f$.

研究の動機と目的

• 非一様双曲的力学系における非双曲的エルゴード的不変測度の存在を調査すること。
• 非一様双曲的性が、一様双曲的系の補集合において一般的であるという予想に取り組むこと。
• 一般的$C^1$条件下で、異なる指数をもつサドルを含むホモクラインクラスが、必然的に非双曲的エルゴード的測度をもつことを示すこと。
• 非双曲的挙動がエルゴード的レベルで出現するための力学的メカニズム（異次元サイクル）を提供すること。
• 特にパライスの予想の文脈において、一様双曲的でない構造の理解を、非一様双曲的領域にまで拡張すること。

提案手法

• 強靱な力学的特徴を保証するため、$C^1$-摂動技法を用いて部分集合$\mathcal{S} \subset \text{Diff}^1(M)$を構成すること。
• 異なる指数をもつ周期的サドルを含む異次元サイクルを用いて、非双曲的挙動を生成すること。
• 周期的軌道間の$V$-ホモクライン関係と$V$-${\rm u}$-二重蓄積を保証するため、$V$-関連サイクル構成を適用すること。
• リャプノフ指数の推定と帰還時間の幾何的制御を用いて、中心方向の非ゼロリャプノフ指数と非可算集合への測度の台を保証すること。
• 開集合$\mathcal{Z}_{n_1,\dots,n_N}$と稠密部分集合$\mathcal{D}_{n_1,\dots,n_N}$のネスト構成を用いて、非双曲的測度の一般性と強靭性を保証すること。
• 異なる指数をもつ軌道に支持された周期的測度の弱$^*$-極限として非双曲的エルゴード的測度の存在を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般的$C^1$微分同相写像において、異なる指数をもつサドルを含むホモクラインクラスは、非双曲的エルゴード的不変測度を必ずもつのか？
• RQ2 非一様双曲的系において、一様双曲的でない条件下で非双曲的エルゴード的測度が一般に出現しうるか？
• RQ3 異次元サイクルのような力学的構造は、どのように非双曲的エルゴード的測度を必然的に引き起こすのか？
• RQ4 微分同相写像空間における$C^1$-摂動に対して、このような測度の存在は強靭的か？
• RQ5 異なる指数をもつ周期的軌道の存在は、不変測度のリャプノフスペクトルにどのように影響するか？

主な発見

• 残渣的部分集合$\mathcal{S} \subset \text{Diff}^1(M)$が存在し、任意の$f \in \mathcal{S}$に対して、異なる指数をもつサドルを含むホモクラインクラスは、非可算的・不変的・エルゴード的・非双曲的測度をもつ。
• 非双曲的測度は、異なる指数をもつ軌道に支持された周期的測度の弱$^*$-極限として得られ、非可算な台を保証する。
• この構成は、異なる指数をもつ周期的サドル間の強靭な$V$-関連異次元サイクルに依存しており、$V$-${\rm u}$-二重蓄積と非ゼロ中心リャプノフ指数を保証する。
• 中心方向に関連するリャプノフ指数は、$g$が構成された微分同相写像に近い場合、$\chi^c(P_{n_1}) < \frac{1}{2}\chi^c(B_g)$を満たし、非一様双曲的性を保証する。
• このような微分同相写像の集合は残渣的であり、$C^1$位相における一般性を示している。
• この結果は、パライスの予想の洗練版を支持しており、ホモクラインクラスに異なる指数のサドルを含む場合、非双曲的エルゴード的測度が、一様双曲的系の補集合において一般的であることを示している。