[論文レビュー] Non-intrusive reduced-order models for parametric partial differential equations via data-driven operator inference

Shane A. McQuarrie, Parisa Khodabakhshi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2021

Model Reduction and Neural Networks被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、時間依存偏微分方程式（PDE）のパラメトリックな低次元モデル（ROM）を構築する非侵襲的でデータ駆動型の作用素推定フレームワークを提案する。シミュレーションデータ上の線形回帰により、パラメトリック構造を学習されたROM作用素に直接埋め込むことで、不確実性評価や逆問題に適した、パラメータ変動にわたるPDEの高速解法を可能にする。

ABSTRACT

This work formulates a new approach to reduced modeling of parameterized, time-dependent partial differential equations (PDEs). The method employs Operator Inference, a scientific machine learning framework combining data-driven learning and physics-based modeling. The parametric structure of the governing equations is embedded directly into the reduced-order model, and parameterized reduced-order operators are learned via a data-driven linear regression problem. The result is a reduced-order model that can be solved rapidly to map parameter values to approximate PDE solutions. Such parameterized reduced-order models may be used as physics-based surrogates for uncertainty quantification and inverse problems that require many forward solves of parametric PDEs. Numerical issues such as well-posedness and the need for appropriate regularization in the learning problem are considered, and an algorithm for hyperparameter selection is presented. The method is illustrated for a parametric heat equation and demonstrated for the FitzHugh-Nagumo neuron model.

研究の動機と目的

• 時間依存PDEのパラメトリック構造を保持する非侵襲的低次元モデル化フレームワークの開発。
• パラメトリックROMにおける高次元パラメータ空間の課題に対処するため、データから直接パラメータ化された作用素を学習すること。
• 不確実性評価や逆問題など、多数のPDE評価を要する応用分野における効率的な前向き解法を可能にすること。
• 学習プロセスにおける正則化とハイパーパrameter選択を通じて、適切な解法と耐障害性を保証すること。
• アフィンパラメータ依存性を示すパラメトリックPDE、例えば熱方程式やFitzHugh–Nagumoモデルに対して、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 高次元フィidelityコードにアクセスせずに、シミュレーションスナップショットと時間微分から、低次元作用素を作用素推定（OpInf）により学習する。
• 基底関数を用いて、低次元作用素の係数をパラメータの関数としてモデル化することで、パラメトリック依存性をROM構造に直接埋め込む。
• データ駆動型線形回帰問題を解き、パラメータ化された作用素を推定する。システム行列は、パラメータ化された基底関数と状態軌道から構築される。
• スparser回帰と正則化を用いて、特に高次元パラメータ空間において数値的安定性と一般化性能を向上させる。
• 正則化のチューニングと学習性能の向上を目的として、ハイパーパrameter選択アルゴリズムを適用する。
• 非線形項は、二次および一次項のテンソル化されたパラメータ化により処理され、パラメータ化された低次元作用素の効率的計算が可能になる。

Figure 1: Experimental parameter samples (left) and associated snapshots at intermediate time $t=t_{75}=0.075$ (right) for the heat equation problem Eq. 8a – Eq. 8c . The vertical line $x=\bar{x}$ marks the point in the domain where the diffusion constant switches between $\alpha$ and $\beta$ .

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シミュレーションデータのみを用いて、非侵襲的ROMフレームワークが時間依存PDEのパラメトリック依存性を正確に捉えられるか？
• RQ2 パラメトリック構造を低次元作用素に直接埋め込むことで、物理的一致性と計算効率を確保する方法は何か？
• RQ3 パラメトリックROMの学習における適切な解法と耐障害性を保証するための正則化戦略は何か？
• RQ4 パラメータ次元が増加するに従って、本手法は補間ベースのROMアプローチと比較してどのようにスケーリングするか？
• RQ5 FitzHugh–Nagumoモデルのような複雑なパラメトリックPDEに対しても、本フレームワークは高い精度とスループット向上を達成できるか？

主な発見

• 本手法は、データから直接パラメータ化された低次元作用素を学習することで、パラメトリックPDEの正確かつ高速な解法を実現する。
• フルオーダーモデルと比較して顕著な計算高速化を示し、多数のクエリを要する応用分野での効率的実行を可能にする。
• 正則化とハイパーパrameter選択は、特に高次元パラメータ空間において、学習の安定性と一般化性能を顕著に向上させる。
• 次元の呪いを回避するため、本手法は高次元パラメータ空間において補間ベースのROMを上回る性能を示す。
• パラメトリック熱方程式およびFitzHugh–Nagumoモデルに対する数値実験では、多様なパラメータ値において高い精度と耐障害性が確認された。
• 得られたROMは、パラメトリック構造を作用素推定プロセスに直接埋め込むことで、適切な解法を保ち、物理的一致性を維持する。

Figure 2: Residual energy decay (left) and the six dominant POD basis functions (right) for the snapshot set generated at the parameter samples in Fig. 1 . For $r\geq 12$ , we have $1-\mathcal{E}(r)<10^{-7}$ ; if $r\geq 19$ , then $1-\mathcal{E}(r)<10^{-10}$ .