[論文レビュー] Non-invertible Symmetries and Higher Representation Theory II

Thomas Bartsch, Mathew Bullimore+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 26

ひとこと要約

この論文は有限高次群をゲージすることおよび離散トーションを伴う高次サブグループから生じる非可逆対称性のための、より高次の群論的枠組みを展開し、D=2,3,4 で具体的なカテゴリ記述を提供する。

ABSTRACT

In this paper we continue our investigation of the global categorical symmetries that arise when gauging finite higher groups and their higher subgroups with discrete torsion. The motivation is to provide a common perspective on the construction of non-invertible global symmetries in higher dimensions and a precise description of the associated symmetry categories. We propose that the symmetry categories obtained by gauging higher subgroups may be defined as higher group-theoretical fusion categories, which are built from the projective higher representations of higher groups. As concrete applications we provide a unified description of the symmetry categories of gauge theories in three and four dimensions based on the Lie algebra $\mathfrak{so}(N)$, and a fully categorical description of non-invertible symmetries obtained by gauging a 1-form symmetry with a mixed 't Hooft anomaly. We also discuss the effect of discrete torsion on symmetry categories, based a series of obstructions determined by spectral sequence arguments.

研究の動機と目的

• 離散トーションを伴う有限高次群と高次サブグループをゲージすることから生じるグローバルなカテゴリ対称性を動機づけ、形式化する。
• 有限高次群のアノマリーフリーなサブグループをゲージすることによって生じる対称性カテゴリーとして、高次群論的融合カテゴリーを定義する。
• so(N) に関連する3Dおよび4Dゲージ理論の対称性カテゴリーの統一的なカテゴリー記述を提供する。
• 混合 ’t Hooft異常を有する1-形式対称性をゲージすることから生じる非可逆対称性を記述する。
• 阻止理論とスペクトル系列を介して、対称性カテゴリーへの離散トーションの影響を調査する。

提案手法

• 有限群様の対称性Gと異常α ∈ Z^{D+1}(G,U(1))をもつD次元理論に対して、対称性カテゴリー (D-1)Vec^α(G) を導入する。
• α|_H のトリビュレート ψ を持つアノマリーフリーの (D-1) サブグループ H ⊂ G をゲージすると、高次群論的融合カテゴリー C(G,α|H,ψ) が得られる。
• 単純対象、態射、融合規則を、Vec^α(G) における代数対象 A(H,ψ) の二重モジュールとして記述する。
• D=2,3,4 に特化し、2次元・3次元・4次元の詳細な事例研究を行い、Lyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列からの障害を議論する。
• Dijkgraaf-Witten 理論のギャップのある境界条件および異常対称性を含む TQFT への結合に関する記述と関連づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D>2 における非可逆的なグローバル対称性を高次群論的融合カテゴリーでどのように捉えることができるか。
• RQ2 有限群 G のアノマリーフリーなサブグループ H を ψ でトリビュレートしてゲージしたとき、対称性カテゴリーとその単純対象はどのように変化するか。
• RQ3 ゲージ後の単純対象をラベリングする際のプロジェクティブ (高次) 表現の役割は何か。
• RQ4 離散トーションとスペクトル系列の障害は、対称性カテゴリーの存在と構造にどのような影響を与えるか。
• RQ5 D=3およびD=4のSO(N)ベースのゲージ理論の対称性カテゴリーの具体的なカテゴリー記述は何か、これは TQFT および異常完結とどのように関連するか。

主な発見

• Gのアノマリーフリーなサブグループ H を ψ でのトリビュレーションとともにゲージすると、高次群論的融合カテゴリー C(G,α|H,ψ) が得られる。
• C(G,α|H,ψ) の単純対象は、g が double coset H\backslash G/H を走り、Φ_g が H_g = H ∩ gHg^{-1} の既約投影表現で、αとψ から構築される特定の 2- cocycle c_g を持つ (g, Φ_g) の対に対応する。
• 態射は H-欠陥接合に適合する相互写像であり、実質的に Hom 空間を H_g の投影表現間の intertwiners として与える。
• 融合は二重余コット環 Z[H\backslash G/H] によって支配され、定義されたサポートを保持する融合規則が、二重 coset の積を G へ升して算出される。
• D=4 では、3D 欄におけるトポロジカル線の braiding による TQFT 値の融合係数が予想され、DW 理論の高次群データを伴うギャップ境界条件との結びつきが見込まれる。
• 離散トーションはスペクトル系列微分で捉えられる阻害を導入し、拡張の可能性と得られる対称性カテゴリー構造に影響を与える。