[論文レビュー] Non-isometric hyperbolic 3-orbifolds with the same topological type and volume

Jérôme Los, Luisa Paoluzzi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、双曲的3次元軌道体の非同相な無限対を、同じ位相型と体積を持つように構成する。その構成は、2つの異なる2mn重の分岐被覆（分岐次数が(2,2,2m,2m,n)および(2,2,2n,2n,m)）を用い、それらが共通の擬アノソフ写像のトーラス被覆上から得られることに依拠する。この被覆は、トーラス商上のアノソフ写像の上への持ち上げによって得られ、異なる分岐構造を持つが、同じ体積と位相型を持つ非同相な軌道体を生成する。

ABSTRACT

We construct pairs of non-isometric hyperbolic 3-orbifolds with the same topological type and volume. Topologically these orbifolds are mapping tori of pseudo-Anosov maps of the surface of genus 2, with singular locus a fibred (hyperbolic) link with five components.

研究の動機と目的

• 同じ位相型と体積を持つ非同相な双曲的3次元軌道体の存在を示すこと。
• 種数2の曲面上の擬アノソフ写像のマッピングトーラスの分岐被覆を用いて、このような対を構成すること。
• これらの軌道体が、異なる分岐データを持つ非同値な群作用によって、共通の双曲的3次元多様体の商として生じることを示すこと。
• パrameter n > m ≥ 2 を変化させることで、無限に多くのこのような対を構成できることを確立すること。

提案手法

• 種数 g = 6nm − n − m + 1 の曲面から種数2の曲面への2mn重の分岐被覆を2つ構成し、分岐点は5点で、分岐次数がそれぞれ (2,2,2m,2m,n) および (2,2,2n,2n,m) となるようにする。
• 中間の軌道体被覆を用いる：まず、種数5の軌道体（円周点 (m,m,n,n) を持つ）へのmn重被覆を経て、その後、2重被覆により目的の軌道体に至る。
• 底面の軌道体を、4つの円周点 (2,2,2m,2n) を持つトーラスの商として実現し、Z/m × Z/n および Z/2 × Z/2 の作用を用いる。
• トーラス上の線形アノソフ写像を、曲面被覆に持ち上げ、その持ち上げがデック変換と可換であり、ファイブレーション構造を保存することを保証する。
• 3次元軌道体を、持ち上げた擬アノソフ写像のマッピングトーラスとして構成し、アノソフ力学により双曲的であることを保証する。
• 同じ位相型と体積であるにもかかわらず、異なる分岐データのおかげで、得られた軌道体が非同相であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ位相型と体積を持つ非同相な双曲的3次元軌道体が存在しうるか？
• RQ2 このような軌道体は、異なる分岐構造を持つ共通の双曲的3次元多様体の分岐被覆として自然に生じるか？
• RQ3 一様な幾何的構成により、無限に多くのこのような対を構成できるか？
• RQ4 このような軌道体は、5個の特異ファイバーを持つ種数2曲面上の擬アノソフ写像のマッピングトーラスとして実現可能か？
• RQ5 対称性とデック変換は、同じ位相的および体積的不変量を持つ分岐被覆構造を区別する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、パrameter n > m ≥ 2 の族を用いて、同じ位相型と体積を持つ非同相な双曲的3次元軌道体を無限に構成する。
• 各対は、共通の双曲的3次元多様体 M を、位数2mnの2つの異なる群作用で割った商として得られ、分岐次数がそれぞれ (2,2,2m,2m,n) および (2,2,2n,2n,m) である。
• 3次元軌道体は、5成分の双曲的リンクでファイバーされた種数2曲面上の擬アノソフ写像のマッピングトーラスとして得られる。
• この構成は、トーラス商上のアノソフ写像を曲面被覆に持ち上げることに依拠し、ファイブレーションを保ちつつ双曲的であることを保証する。
• アノソフ写像の反復により、関連する3次元多様体の体積が増加するため、固定されたリンクと分岐型に対しても、無限に多くの異なる例が得られる。
• 底面軌道体の5成分リンクは、双曲的かつファイバー化可能であり、5個の穴あき種数2曲面上の擬アノソフ写像から生じる。