[論文レビュー] Non-liftable Calabi-Yau varieties in characteristic $p \geq 5$

Piotr Achinger, Maciej Zdanowicz|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kodairaの消滅性が成り立たないTotaroのファノ多様体を用いて、特徴 $p \geq 5$ における非可昇なカラビ＝ヤウ多様体を構成する。これらのファノ多様体の反標準除集合および $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-被覆をとることで、$2p$ および $2p+1$ 次元のカラビ＝ヤウ多様体が得られ、それらは任意の分岐拡大のウェイト環の上への形式的可昇をもたない。これは、任意の大きな特徴における最初の例である。

ABSTRACT

Based on recent work of Totaro, we provide two simple constructions of non-liftable Calabi-Yau varieties in characteristic $p \geq 5$. Our examples are of dimension $2p$ and $2p+1$.

研究の動機と目的

• 特徴 $p \geq 5$ の正の特徴における、形式的可昇性をもたないカラビ＝ヤウ多様体の明示的例を構成すること。
• 小素数における散発的例を超えて、非可昇カラビ＝ヤウ多様体の既知の類を拡張すること。
• Totaroの最新の結果、すなわちファノ多様体におけるKodairaの消滅性の失敗を、非可昇カラビ＝ヤウ構造の出発点として活用すること。
• すべての $p \geq 5$ に対して、次元 $2p$ および $2p+1$ の非可昇カラビ＝ヤウ多様体が存在することを示し、文献における空白を埋めること。

提案手法

• Frobenius引き戻しとして構成されたフラッグ多様体の引き戻しとして得られる、Kodairaの消滅性を破るTotaroのファノ多様体 $X = \mathbb{P}_{{\rm Gr}(2,N)}(F^*\mathscr{S})$ を用いる。ここで $N = p+2$ である。
• 最初のクラスの例として、$Y \in |{-K_X}|$ における滑らかな反標準除集合を構成し、付随性を用いて自明な標準バンドルおよびホッジ数の消滅を確認する。
• 第二のクラスとして、$|{-2K_X}|$ に属する滑らかな除集合に沿った $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-被覆 $Y \to X$ を構成し、自明な標準バンドルおよびカラビ＝ヤウ条件を保証する。
• 補題1を適用：ある非常に大きなラインバンドル $A$ に対して $\chi(Y, \mathscr{O}_Y(A)) < 0$ ならば、$Y$ は $W(k)$ のいかなる分岐拡大の上にも形式的に可昇しない。
• $X$ 上での射影公式およびコホモロジー的消滅性を用いて、$\chi(Y, \mathscr{O}_Y(A)) = \chi(X, \mathscr{O}_X(A)) < 0$ を示し、非可昇性の基準を満たす。
• 同調的空間 $X$ 上でのKempfの消滅性およびSerre双対性を用いて、$H^i(Y, \mathscr{O}_Y) = 0$ ($0 < i < \dim Y$) を証明し、カラビ＝ヤウ構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての特徴 $p \geq 5$ において、非可昇カラビ＝ヤウ多様体を体系的に構成できるか？
• RQ2 Totaroのファノ多様体がKodairaの消滅性を破るという事実は、正の特徴における非可昇カラビ＝ヤウ多様体の構成の普遍的出発点となるか？
• RQ3 Totaroのファノ多様体 $X$ の変形空間は $\mathrm{Spf}\,k$ に同型であるか、それとも非自明な変形を許容するか？
• RQ4 高次の拡大への可昇に失敗しても、構成されたカラビ＝ヤウ多様体は $W_2(k)$、長さ2のウェイト環上に可昇するか？
• RQ5 同様の構成により、特徴 $p = 2,3$ における非可昇カラビ＝ヤウ3次元多様体が得られるか？

主な発見

• 任意の代数的閉体をもつ特徴 $p \geq 5$ に対して、本稿は $W(k)$ のいかなる分岐拡大の上にも形式的に可昇しない、次元 $2p$ および $2p+1$ の射影的カラビ＝ヤウ多様体を構成する。
• 第一の構成では、Totaroのファノ多様体 $X$ 内の滑らかな反標準除集合として得られるカラビ＝ヤウ多様体 $Y$ が得られ、$\chi(Y, \mathscr{O}_Y(A)) = \chi(X, \mathscr{O}_X(A)) < 0$ である。補題1により、非可昇性が示される。
• 第二の構成では、$|{-2K_X}|$ に属する滑らかな除集合に沿った $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-被覆 $Y \to X$ が得られ、これもカラビ＝ヤウであり、同じオイラー標跡の障害により非可昇である。
• ファノ多様体 $X$ は $\mathbb{P}_{{\rm Gr}(2,N)}(F^*\mathscr{S})$ に同型であり、$N = p+2$ である。また、$-K_X = 2A$ および $\chi(X, \mathscr{O}_X(A)) < 0$ を満たす非常に大きなラインバンドル $A$ が存在し、これは非可昇性の証明の中心的役割を果たす。
• 構成されたカラビ＝ヤウ多様体はKodairaの消滅性を満たさず、これは基盤となるファノ多様体 $X$ におけるKodairaの消滅性の失敗に起因し、非可昇性の原因となっている。
• Langerの期待に反して、$Y$ は双被覆 $Y'$ の小解消であるが、$Y'$ は可昇可能であるため、$Y$ 自身は非可昇である。よって、$Y$ は可昇可能カラビ＝ヤウ多様体の小解消としての意味で「小さい解消」ではない。