[論文レビュー] Non-linear corrections to Lagrangians predicted by causal set theory: Flat space bosonic toy model

Roman Sverdlov|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、因果セット理論におけるラグランジアンを導出するための座標に依存しない幾何学的手法を提案する。この手法は、時空の統計的に大きな有限領域における場の値を分析することで、高次微分項の寄与が避けられないこと—有限サンプリングに起因する—を示す。平坦空間であっても、標準的なキーン＝ゴルドンおよびマクスウェルのラグランジアンに顕著な非線形補正項が生じ、幾何学的および解析的ラグランジアン定義の間の根本的な不一致が高次項において明らかになる。

ABSTRACT

A while ago a proposal have been made regarding Klein Gordon and Maxwell Lagrangians for causal set theory. These Lagrangian densities are based on the statistical analysis of the behavior of field on a sample of points taken throughout some "small" region of spacetime. However, in order for that sample to be statistically reliable, a lower bound on the size of that region needs to be imposed. This results in "unwanted contributions" from higher order derivatives to the Lagrangian density, as well as non-trivial curvature effects on the latter. It turns out that both gravitational and non-gravitational effects end up being highly non-linear. In the previous papers we were focused on leading order terms, which allowed us to neglect these nonlinearities. We would now like to go to the next order and investigate them. In the current paper we will exclusively focus on the effects of higher order derivatives in the flat-space toy model. The gravitational effects will be studied in another paper which is currently in preparation. Both papers are restricted to bosonic fields, although the issue probably generalizes to fermions once Grassmann numbers are dealt with in appropriate manner.

研究の動機と目的

• 因果セット理論における場のラグランジアンを定義するための幾何学的で座標に依存しない手法の開発。
• 平坦時空におけるラグランジアン密度の導出に及ぼす有限サイズのサンプリング効果の調査。
• 場の値の統計的解析に起因する高次微分項の寄与から生じる非線形補正の特定および特徴化。
• これらの非線形性が因果セットアプローチ固有のものであり、恣意的な追加によるものではないことを示すこと。
• こうした非線形性が場の伝播および経路積分による量子化に与える影響を理解するための基盤を構築すること。

提案手法

• 因果セットの点の有限で統計的に大きなサンプル領域における場の値の統計的分析を用いてラグランジアン密度を定義する。
• 大数の法則を用いて点分布のランダムな揺らぎを抑制し、信頼性の高い微分推定を保証する。
• 共変性を保ちつつ統計的変動を導入するため、因果セットをポアソン点過程としてモデル化する。
• 有限サンプル領域における場の振るまいを分析することで、高次微分項の寄与を計算する。
• 幾何的構成を用いて、標準的なキーン＝ゴルドンおよびマクスウェルのラグランジアンに対する明示的な非線形補正項を導出する。
• 得られた幾何的ラグランジアンと解析的連続体形式を比較し、有限サンプリングおよび曲率効果に起因する不一致を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 因果セットにおける有限サイズのサンプリング効果は、場のラグランジアンにどのように非線形補正をもたらすか？
• RQ2 平坦空間の因果セットモデルにおいて、ラグランジアンに及ぼす高次微分項の寄与の構造はいかなるものか？
• RQ3 曲率効果および有限領域サイズは、場のラグランジアンの標準的解析的形にどの程度歪曲をもたらすか？
• RQ4 因果セットのラグランジアンにおける非線形補正は、体系的に導出可能かつ分類可能か？
• RQ5 これらの非線形性は、因果セット理論における場の理論の予測力および量子化にどのように影響を及ぼすか？

主な発見

• 因果セットにおける有限サンプリング領域は、平坦時空であっても、ラグランジアンに高次微分項の寄与を避けがたくももたらす。
• 得られる非線形補正項は顕著に非自明であり、標準的な場理論のラグランジアンとは構造的に著しく異なる。
• 導出されたラグランジアンの一次項は標準的なキーン＝ゴルドンおよびマクスウェル形式と一致するが、高次項は著しく逸脱する。
• 非線形補正の明示的表現には、場の強度、微分、速度ベクトルの複雑な組み合わせが含まれ、たとえば $ \left(\frac{v_{\rho}v_{\sigma}v^{\eta}F^{\rho\mu}F^{\sigma\nu}\partial_{\mu}F_{\nu\eta}}{|\vec{E}|^{2}}\right)^2 $ のような項が含まれる。
• 幾何的ラグランジアンと解析的ラグランジアンの不一致は、根本的にサンプリング領域の有限サイズに起因するものであり、追加の物理的仮定とは無関係である。
• これらの非線形性は幾何的構成に内在しており、幾何的定義の選択に応じて変化するため、非線形効果を調整するメカニズムが存在する可能性がある。