[論文レビュー] Non-linear ground state representations and sharp Hardy inequalities

Rupert L. Frank, Robert Seiringer|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、一般の $1 \leq p < N/s$ および $0 < s < 1$ に対して、分数階のハーディー不等式における鋭鋭定数を特定する。非線形的かつ非局所的な基底状態表現を導入し、剰余項を付与する。主な結果として、最適定数 $Π_{N,s,p}$ の明示的公式が得られ、これはLorentz空間への鋭鋭なソボレフ埋め込みの新たな証明を可能にするとともに、再配分不等式における等号成立条件を特定する。

ABSTRACT

We determine the sharp constant in the Hardy inequality for fractional Sobolev spaces. To do so, we develop a non-linear and non-local version of the ground state representation, which even yields a remainder term. From the sharp Hardy inequality we deduce the sharp constant in a Sobolev embedding which is optimal in the Lorentz scale. In the appendix, we characterize the cases of equality in the rearrangement inequality in fractional Sobolev spaces.

研究の動機と目的

• 一般の $p$ および $s$ に対して、$\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N)$ 空間における分数階ハーディー不等式の鋭鋭定数を特定すること。
• 不等式に剰余項を付与する非線形的かつ非局所的な基底状態表現を構築すること。
• Lorentz空間 $L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ への最適ソボレフ埋め込みにおける最適定数を導出すること。
• 分数階ソボレフノルムに関する再配分不等式における等号成立条件を特定すること。

提案手法

• 核 $k(x-y)$ と汎関数 $E[u]$ を用いて、分数階 $p$-ディリクレエネルギーに対する非線形的かつ非局所的な基底状態表現を導出する。
• ガンマ関数とガウス重みを用いた恒等式を用いて、分数階ディリクレエネルギーを $\alpha > 0$ における積分として表現する：$\iint \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+ps}} dx dy = \frac{1}{\Gamma((N+ps)/2)} \int_0^\infty I_\alpha[u] \alpha^{(N+ps)/2 - 1} d\alpha$。
• $u = u_M + v_M$ という分解（$u_M = \min\{u, M\}$）を用い、対称減少再配分の下でのエネルギー汎関数を分析する。
• Rieszの再配分不等式を用いて、エネルギー汎関数 $E[u]$ が再配分のもとで最小化されることを証明する。各エネルギー分解成分が再配分のもとで非増加であることを示す。
• 核の厳密な凸性および単調性の仮定の下で、再配分不等式における等号成立条件を特定する。等号は $u$ が対称減少関数の平行移動である場合にのみ成立する。
• 鋭鋭ハーディー不等式を応用し、Lorentzスケールのソボレフ埋め込み $\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N) \subset L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ における最適定数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $1 \leq p < N/s$ および $0 < s < 1$ に対して、分数階ハーディー不等式における鋭鋭定数は何か？
• RQ2 分数階ハーディー不等式に剰余項を付与する非線形的かつ非局所的な基底状態表現を構築可能か？
• RQ3 Lorentz空間 $L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ へのソボレフ埋め込みにおける最適定数は何か？
• RQ4 分数階ソボレフノルムに関する再配分不等式で等号が成立するのはどのような条件下か？
• RQ5 $s \to 1$ の極限において、鋭鋭ハーディー定数はBourgain–Brezis–Mironescuの推定とどのように関係するか？

主な発見

• 分数階ハーディー不等式の鋭鋭定数は、$\mathcal{C}_{N,s,p} = 2\int_0^1 r^{ps-1} |1 - r^{(N-ps)/p}|^p \Phi_{N,s,p}(r) dr$ で明示的に与えられ、$\Phi_{N,s,p}(r)$ は表面積分または超幾何型の表現で定義される。
• $p=1$ の場合、ハーディー不等式における等号成立は、$u$ が対称減少関数に比例する場合にかつその場合にのみ成立する。
• $p>1$ の場合、$\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N)$ または $\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N \setminus \{0\})$ 内のすべての非ゼロ関数に対して不等式は厳密に成立する。
• 鋭鋭定数 $\mathcal{C}_{N,s,p}$ は、$p^* = Np/(N - ps)$ を用いて、$\dot{W}^s_p(\mathbb{R}^N) \subset L_{p^*,p}(\mathbb{R}^N)$ における鋭鋭Lorentzスケールのソボレフ埋め込みを示唆する。
• 再配分不等式における等号成立条件は、核の厳密な凸性および単調性の仮定の下で、$u$ が対称減少関数の平行移動である場合にかつその場合にのみ成立する。
• $\mathcal{C}_{N,s,p}$ の明示的公式は、Maz’yaとShaposhnikovaによる以前の評価を回復・改善するとともに、フーリエ変換を用いた $p=2$ の既知の結果を再現する。