[論文レビュー] Non-linear Hopf manifolds are locally conformally Kahler

Liviu Ornea, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2022

Geometry and complex manifolds被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、非線形ホフマン多様体—非線形な正則的収縮写像による $\mathbb{C}^n\setminus 0$ の商—が、ポテンシャルを持つ局所的にコンフォールクラーマン（LCK）計量を有することを証明する。著者らは、リーマン＝シュードルの定理や有限次元の $\gamma$-不変部分空間といった関数解析的道具を用いて、このような多様体を線形ホフマン多様体へ埋め込むことを構成し、その埋め込みによって、周囲の線形的設定からのLCK構造を引き継ぐ。

ABSTRACT

A Hopf manifold is a quotient of $C^n\backslash 0$ by the cyclic group generated by a holomorphic contraction. Hopf manifolds are diffeomorphic to $S^1 imes S^{2n-1}$ and hence do not admit Kahler metrics. It is known that Hopf manifolds defined by linear contractions (called linear Hopf manifolds) have locally conformally Kahler (LCK) metrics. In this paper we prove that the Hopf manifolds defined by non-linear holomorphic contractions admit holomorphic embeddings into linear Hopf manifolds, and, moreover they admit LCK metrics.

研究の動機と目的

• 非線形ホフマン多様体が局所的にコンフォールクラーマン（LCK）計量とポテンシャルを有するかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 線形ホフマン多様体がポテンシャルを持つLCKであるという既知の結果を非線形の場合へ拡張すること。
• 正則的収縮理論を用いて、非線形ホフマン多様体を線形ホフマン多様体へ埋め込む一般定理を確立すること。
• ピオンカーレ正規形に依存しない概念的かつ構成的な証明により、非線形ホフマン多様体上のLCK構造を示すこと。
• LCK計量とポテンシャルの性質が、線形ホフマン多様体への正則的埋め込みにおいても保存されることを示すこと。

提案手法

• リーマン＝シュードルの定理および正規族の理論を用いて、孤立特異点をもつストーリング多様体上の正則関数空間における $F$-有限ベクトルを分析する。
• $\gamma$-有限正則関数の空間が、$\langle \gamma \rangle$ の前コンパクトな基本領域における $C^0$-位相において稠密であることを証明する。
• $\gamma$-有限関数によって生成される有限次元の $\gamma^*$-不変部分空間 $W \subset H^0(V, \mathcal{O}_V)$ を構成し、対応する写像 $\Psi: V \to W \cong \mathbb{C}^N$ が閉じた正則的埋め込みであることを保証する。
• $\gamma$ および $\gamma^*$ における $\Psi$ の等変性を示す可換図式を構成し、商構成を可能にする。
• 商に移行して、正則的埋め込み $\frac{V\setminus x}{\langle \gamma \rangle} \hookrightarrow \frac{W\setminus 0}{\langle \gamma^* \rangle}$ を得る。ここで、被覆は線形ホフマン多様体である。
• 既知の結果（線形ホフマン多様体はポテンシャルを持つLCK計量を有する）を適用し、LCK計量とポテンシャルを持つ多様体の閉部分多様体も自身がLCK計量とポテンシャルを有することを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形ホフマン多様体—非線形な正則的収縮写像によって定義される—は、局所的にコンフォールクラーマン（LCK）計量とポテンシャルを有するか？
• RQ2 非線形ホフマン多様体は、線形ホフマン多様体へ正則的埋め込み可能か？
• RQ3 LCK計量とポテンシャルの性質は、線形ホフマン多様体への正則的埋め込みにおいても保存されるか？
• RQ4 非線形関数の $\gamma$-有限正則関数の関数解析的構造を用いて、このような埋め込みを構成可能か？
• RQ5 高次元における非線形収縮写像のピオンカーレ正規形の欠如が、LCK計量の構成を妨げるか？

主な発見

• 非線形ホフマン多様体—非線形な正則的収縮写像 $\gamma$ による $({\mathbb{C}}^n\setminus 0)/\langle \gamma \rangle$ の商として定義される—は、局所的にコンフォールクラーマン（LCK）計量とポテンシャルを有する。
• すべてのこのような非線形ホフマン多様体は、ある $N$ に対して $({\mathbb{C}}^N\setminus 0)/\langle \gamma^* \rangle$ へ正則的埋め込み可能である。
• この構成は、前コンパクトな基本領域における $C^0$-位相における $\gamma$-有限正則関数の稠密性に依存しており、有限次元の $\gamma^*$-不変部分空間の存在を保証する。
• 得られる埋め込みは閉かつ $\gamma$-等変的であり、商が周囲の線形ホフマン多様体からのLCK構造を引き継ぐことを可能にする。
• 線形ホフマン多様体がLCK計量とポテンシャルを有すること、およびLCK計量とポテンシャルを持つ多様体の閉部分多様体が自身もLCK計量とポテンシャルを有することを用いることで、非線形ホフマン多様体もこの構造を引き継ぐ。
• この結果は、すべての複素次元 $n \geq 2$ に対して成り立ち、通常LCK多様体にポテンシャルを持つ場合に生じるシュタイン完備化の問題から生じる次元制限 $\geq 3$ を必要としない。ここでは、$\mathbb{C}^n\setminus 0$ の被覆自体がシュタイン完備化 $\mathbb{C}^n$ を持つ。