[論文レビュー] Non linear optimal stopping problem and Reflected BSDEs in the predictable setting

Siham Bouhadou, Youssef Ouknine|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、予測可能でない障害と非準左連続なフィルトレーションを持つ反射型後向きストキャスティック微分方程式（RBSDE）の解の存在および一意性を、最適停止理論およびMertensの分解を用いて確立する。非線形最適停止問題を予測可能な$g$-期待値の枠組みで定式化し、最適な予測可能な停止時刻の存在を証明するとともに、RBSDEの第1成分を用いて価値関数を特徴付ける。

ABSTRACT

In the first part of this paper, we study RBSDEs in the case where the filtration is not quasi-left continuous and the lower obstacle is given by a predictable process. We prove the existence and uniqueness by using some results of optimal stopping theory in the predictable setting, some tools from the general theory of processes as the Merten's decomposition of predictable strong supermartingale. In the second part we introduce an optimal stopping problem indexed by predictable stopping times with the non linear predictable $g$ expectation induced by an appropriate BSDE. We establish some useful properties of ${\cal{E}}^{p,g}$-supremartingales. Moreover, we show the existence of an optimal predictable stopping time, and we characterize the predictable value function in terms of the first component of RBSDEs studied in the first part.

研究の動機と目的

• フィルトレーションが準左連続でない場合および障害が予測可能な場合の反射型BSDEを研究すること。
• 最適停止理論および過程の一般理論を用いて、解の存在および一意性を確立すること。
• 予測可能な停止時刻をインデックスとする$g$-期待値フレームワーク下での非線形最適停止問題を導入すること。
• RBSDEの第1成分を用いて予測可能な価値関数を特徴付けること。
• $\mathcal{E}^{p,g}$-上マルティンゲールの文脈において、最適な予測可能な停止時刻の存在を証明すること。

提案手法

• 予測可能な強上マルティンゲールのMertensの分解を用いて、RBSDEの構造を分析する。
• オプショナルおよび予測可能プロジェクションを含む、一般理論の過程の道具を適用する。
• マルティンゲールの左極限を伴う後向きSDEを用いて、予測可能な$g$-条件付き期待値を定義する。
• $\mathcal{E}^{p,g}$-上マルティンゲールの族を構築し、その主要な性質を導出する。
• 予測可能な設定におけるSnellの包絡を用いて、価値関数を特徴付ける。
• RBSDEの解との間に最適停止問題と第1成分$Y$の間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルトレーションが準左連続ではなく、障害が予測可能な場合、RBSDEはどのように定式化され、解かれるか？
• RQ2 このようなRBSDEの解の存在および一意性に必要な十分な条件は何か？
• RQ3 予測可能な$g$-期待値を用いて非線形最適停止問題を定義可能か？また、最適な予測可能な停止時刻が存在するか？
• RQ4 予測可能な価値関数はRBSDEの解とどのように関係するか？
• RQ5 この枠組みにおいて$\mathcal{E}^{p,g}$-上マルティンゲールが満たす性質は何か？

主な発見

• ドライバー$g$にリプシッツ条件を課した場合、予測可能な障害を伴うRBSDEの解の存在および一意性が確立される。
• 予測可能な$g$-条件付き期待値は適切に定義されており、$\mathcal{E}^{p,g}$-上マルティンゲールの族を誘導する。
• 予測可能な$\mathcal{E}^{p,g}$-上マルティンゲールを用いて定式化された非線形最適停止問題に対して、最適な予測可能な停止時刻が存在する。
• 予測可能な価値関数は、RBSDEの解の第1成分$Y_0$として特徴付けられる。
• RBSDEの解$Y$が予測可能な強上マルティンゲールであることが示され、そのMertens分解が一意性の証明に用いられる。
• この枠組みは、古典的な最適停止理論およびBSDE理論を、非準左連続な設定へと拡張し、金融および確率的制御の文脈における予測可能なジャンプのモデル化を可能にする。