[論文レビュー] Non linear stability of einsteinian spacetimes with U(1) isometry group

Yvonne Choquet–Bruhat, Vincent Moncrief|ArXiv.org|Feb 7, 2003

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$\Sigma \times S^1 \times \mathbb{R}$ の形をとる多様体上における $U(1)$ 等長群をもつ拡張的アインシュタイン時空の非線形的安定性を確立する。ここで $\Sigma$ は genus $G > 1$ のコンパactな曲面である。偏極的で $S^1$-不変なアンザッツと補正エネルギーを用いたエネルギー推定により、初期データが小さい場合、すべての未来の固有時刻 $t \in [t_0, \infty)$ に対してグローバルな存在が証明され、解は $\tau = -t^{-1}$ を満たすカスナー型の計量に漸近的に近づくことが示された。

ABSTRACT

We prove global completeness in the expanding direction of spacetimes satisfying the vacuum Einstein equations on a manifold of the form $Σ imes S^{1} imes R$ where $Σ$ is a compact surface of genus $G>1.$ The Cauchy data are supposed to be invariant with respect to the group $S^{1}$ and sufficiently small, but we do not impose a restrictive hypothesis made in gr-qc 0112049 on the lowest eigenvalue of a relevant Laplacian. The total energy decay still holds, but its rate depends of the asymptotic value of this eigenvalue.

研究の動機と目的

• $\Sigma$ が genus $G > 1$ のコンパクトな曲面である $\Sigma \times S^1 \times \mathbb{R}$ 上における $U(1)$ 等長群をもつ真空中アインシュタイン解のグローバル存在を確立すること。
• 以前の研究で制限的な仮定を要しない、$S^1$-不変な初期データのもとでの拡張的時空の非線形的安定性を証明すること。
• 時空計量が無限の固有時刻にわたり滑らかに発展することを示し、平均曲率 $\tau = -t^{-1}$ を満たすこと。
• 計量が固定されたテイヒミュラー空間にとどまることを保証すること。

提案手法

• 時空計量は $S^1$-不変で偏極的であり、${}^{(4)}g = e^{-2\gamma}g + e^{2\gamma}(dx^3)^2$ の形をとる。これにより4次元アインシュタイン方程式は $\Sigma \times \mathbb{R}$ 上の結合系に簡略化される。
• 3次元計量 $g_{ab}$ は $g_{ab} = e^{2\lambda}\sigma_{ab}$ と分解され、ここで $\sigma_{ab}$ は定数スカラー曲率 $-1$ をもつ。これにより $\Sigma$ が genus $G > 1$ を満たすことが保証される。
• 平均曲率 $\tau = -t^{-1}$ をゲージ条件として導入し、$t$ を負の平均曲率の逆数として定義することで、$t \geq t_0$ で時空が拡張するように保証する。
• 非線形項を制御するため、補正エネルギー関数 $E_{\text{tot}}$ を導入し、Sobolev型不等式と減衰推定を用いて境界を導出する。
• 発展方程式は $\gamma$ に関する波動方程式とスカラー場源をもつ3次元アインシュタイン方程式の系に簡略化され、両者ともエネルギー推定により解析される。
• エネルギー $y(t)$ に対する微分不等式が導出され、$t^k y(t) \leq M_2 y_0$（$k > 0$）が成り立つことが示され、エネルギーノルムの多項式的減衰が示唆される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Sigma$ が genus $G > 1$ である $\Sigma \times S^1 \times \mathbb{R}$ 上の $U(1)$ 対称時空において、真空中アインシュタイン方程式は拡張的方向にグローバル解をもつか？
• RQ2 以前の研究で制限的な仮定を要しない初期データのもとで、グローバル存在を証明できるか？
• RQ3 2つの曲面間の調和微分同相写像のディリクレエネルギーは時間とともにどのように変化するか？また、計量が固定されたテイヒミュラー空間にとどまるようにエネルギーを有界化できるか？

主な発見

• 時空はすべての未来の固有時刻 $t \in [t_0, \infty)$ に対してグローバルに存在し、特異点が形成されないよう lapse 関数 $N_m > 0$ が保証される。
• 総エネルギー $E_{\text{tot}}(t)$ は $t^{-k}$（$k > 0$）のオーダーで減衰し、$k < \frac{1}{4}$ かつ $\alpha < \frac{4}{8 + \Lambda^{-1}}$ の条件下で長期的安定性が保証される。
• ディリクレエネルギー $D_s(\sigma_t)$ は $|D_s(\sigma_t) - D_s(\sigma_0)| \leq M_3 x_0^{1/2}$ を満たし、初期データが小さい場合に初期値に近いままであることが示唆される。
• $t \to \infty$ のとき、解は ${}^{(4)}g = -4dt^2 + 2t^2\sigma + (dx^3)^2$ の形の計量に漸近的に近づくことが確認され、長期的安定性が裏付けられる。
• 計量は固定されたテイヒミュラー空間にとどまり続けることが保証される。