[論文レビュー] Non-local boundary value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional differential operators

Erkinjon Karimov, Bakhodirjon Toshtemirov|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2021

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、長方形領域における混合型偏微分方程式に二順序ヒルファ分数階微分を含む非局所境界値問題の解の存在および一意性を検討する。固有関数展開とボルテラ積分方程式への還元を用いて、解の存在および級数解の一様収束を保証するデータに関する十分条件を確立する。Weierstrass M検定を用いる。

ABSTRACT

In this paper, we consider a nonlocal boundary-value problem for a mixed-type equation involving the bi-ordinal Hilfer fractional derivative in a rectangular domain. The main target of this work is to analyze the uniqueness and the existence of the solution of the considered problem by means of eigenfunctions. Moreover, we construct the solution of the ordinary fractional differential equation with the right-sided bi-ordinal Hilfer derivative by the method of reduction to the Volterra integral equation. Then, we present sufficient conditions for given data in order to show the existence of the solution.

研究の動機と目的

• 混合型方程式に二順序ヒルファ分数階微分を含む非局所境界値問題の解の存在および一意性を分析すること。
• リーマン＝リウヴィル微分およびカプート微分を一般化する二順序ヒルファ作用素を組み込むことで、分数階微分方程式の理論を拡張すること。
• 与えられたデータ（源関数、初期条件、非局所条件）に関する十分条件を確立し、解の正則性および収束性を保証すること。
• Weierstrass M検定を用いて、解の級数表現およびその導関数の収束を示すこと。

提案手法

• 問題は、放物型および双曲型部分が左および右側の二順序ヒルファ分数階微分で支配される混合領域 Ω = Ω₁ ∪ Ω₂ ∪ AB において定式化される。
• 空間変数における固有関数展開を用いて解を構成し、PDEを通常の分数階微分方程式の系に還元する。
• 右側の二順序ヒルファ分数階微分を含む通常の微分方程式は、第二種ボルテラ積分方程式に還元される。
• Weierstrass M検定を用いて級数解の収束を証明し、Mittag-Leffler関数および導関数のL²ノルムから得られる境界に依存する。
• 解の係数を ψ(x)、f(x,t) およびその導関数のフーリエ係数で表すことにより、データに関する十分条件を導出する。
• 混合型境界における解の分数階積分の連続性を保証するため、界面 t=0 における共役条件を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二順序ヒルファ分数階微分を含む混合型方程式の非局所境界値問題が、どのような条件下で一意解を有するか。
• RQ2 長方形領域において、解が一様収束する級数としてどのように表現できるか。
• RQ3 固有関数展開およびボルテラ積分方程式が、解の存在および一意性の証明において果たす役割は何か。
• RQ4 データ（ψ(x), f(x,t)）の正則性および可積分性条件が、解の滑らかさおよび収束性に与える影響は何か。
• RQ5 解の有界性および連続性を保証するための、源関数および非局所データに関する明確な十分条件は何か。

主な発見

• Δₙ ≠ 0、ψ(x) ∈ C[0,l] ∩ C⁴(0,l) かつ ψ(0)=ψ(l)=0、ψ''(0)=ψ''(l)=0、ψ⁽⁴⁾(0)=ψ⁽⁴⁾(l)=0、ψ⁽⁵⁾(x) ∈ L₂(0,l) であるとき、解は存在し一意的である。
• 源関数 f(x,t) は f(0,t)=f(l,t)=0、fₓₓ(0,t)=fₓₓ(l,t)=0、f(x,t) ∈ C[0,l]×[-T,T] ∩ C²,¹(0,l)×(-T,T) を満たし、fₓ⁽³⁾(·,t) ∈ L₂(0,l) でなければならない。
• uₓₓ(x,t) の級数表現は、Weierstrass M検定およびMittag-Leffler関数の境界に裏打ちされて、Ω₁ ∪ Ω₂ で一様収束する。
• D₀₊⁽ᵃ¹,ᵇ¹⁾ᵘ¹u および D₀₋⁽ᵃ²,ᵇ²⁾ᵘ²u の級数に対しても同様の議論により一様収束が成立する。
• 係数 νₙ、φₙ、τₙ は、ψ(x) および f(x,t) のフーリエ係数で明示的に表現され、νₙ は Δₙ の逆行列および導関数のL²ノルムを含む。
• Parsevalの恒等式および不等式 2|1/Δₙ√λₙ ψ₅ₙ| ≤ 1/Δₙ²λₙ + |ψ₅ₙ|² を用いて級数を評価し、収束を保証する。