[論文レビュー] Non-Local Phononic Crystals for Dispersion Customization and Undulation-point Dynamics

Arash Kazemi, Kshiteej J. Deshmukh+5 more|PubMed|Feb 1, 2023

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非局所的なスプリング・マス相互作用を用いて分散関係を正確にカスタマイズ可能な1次元非局所フォノニック結晶の解析的逆設計手法を提示する。逆問題を厳密に解くことで、任意の単一バンドおよび二重バンド分散曲線を実現可能であり、波パケットが位相速度と群速度が同時に消失するため高に局在化する高次臨界点（うねり点）を含む。これにより、解析的精度で新たな波動制御戦略が可能となる。

ABSTRACT

Dispersion relations govern wave behaviors, and tailoring them is a grand challenge in wave manipulation. We demonstrate the inverse design of phononic dispersion using nonlocal interactions on one-dimensional spring-mass chains. For both single-band and double-band cases, we can achieve any valid dispersion curves with analytical precision. We further employ our method to design phononic crystals with multiple ordinary (roton or maxon) and higher-order (undulation) critical points and investigate their wave packet dynamics.

研究の動機と目的

• 非局所相互作用を用いて任意の分散関係を持つフォノニック結晶の逆問題を解くこと。
• 1次元スプリング・マス鎖における単一バンドおよび二重バンド分散曲線の解析的カスタマイズを可能とすること。
• 特に、分散曲線の1階および2階微分が消失する高次臨界点（特にうねり点）における波動ダイナミクスを調査すること。
• 2種類の異なるバンドを持つ二原子非局所鎖への設計手法の拡張すること。
• 局在的で伝搬しない、および広がらない波パケットを必要に応じて実現するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 非局所スプリング相互作用（最大$ N $階まで）を有する単原子鎖の運動方程式を定式化し、$ n $番目の近接原子に対するばね定数$ k_n $を用いる。
• ブロッホの定理を用いて分散関係$ \rho \to \rho $を導出すると、$ \rho^2(q) = \frac{2}{m} \left( \sum_{n=1}^N k_n - \sum_{n=1}^N k_n \cos(nqa) \right) $が得られ、非局所性に起因する非単調な分散関係を実現可能となる。
• 二重バンド系では、半ブリユアンゾーン上で定義される$ K_0(q) $および$ K_1(q) $を用いて、結合分散関係を導出する。これにより、音響モードおよび光学モードを記述可能となる。
• 解析的逆設計プロトコルを構築：所望の$ \Omega_-(q) $および$ \Omega_+(q) $が与えられた場合、$ \alpha = m_2/m_1 $、$ A(q) = (\Omega_+^2 + \Omega_-^2)/2 $、$ D(q) = (\Omega_+^2 - \Omega_-^2)/2 $を計算し、$ K_0(q) $および$ K_1(q) $を回復する。
• フーリエ型の関係式を逆算して物理的ばね定数を計算：奇数$ n $に対しては$ k_n = \frac{2a}{\pi} \int_0^{\pi/(2a)} K_1 \cos(naq) \, dq $、偶数$ n $に対しては$ k_n = -\frac{4a}{\pi} \int_0^{\pi/(2a)} K_0 \cos(naq) \, dq $が成り立つ。
• 時間領域シミュレーションを用いて設計を検証し、特に群速度と位相速度がゼロとなるうねり点における波パケットのダイナミクスを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元フォノニック結晶における非局所相互作用を用いて、任意の単一バンド分散関係を解析的に設計可能か？
• RQ2 高次臨界点（特にうねり点）はどのように設計可能であり、そのダイナミクス的影響は何か？
• RQ3 二原子非局所フォノニック鎖における任意の二重バンド分散関係を実現する逆設計プロトコルは何か？
• RQ4 波パケットはうねり点でどのように振る舞い、このような点が高に局在的で、伝搬も広がりもしない振動を生じるか？
• RQ5 この解析的手法は、最小限の非局所スプリング数で、目標分散関係と実際の分散関係の高精度一致をどの程度達成可能か？

主な発見

• 逆設計手法により、反復的最適化を一切要せず、単原子非局所フォノニック結晶における単一バンド分散関係を厳密に解析的にカスタマイズ可能である。
• 本手法は、通常の臨界点（ロトン/マキソン点）に加え、$ \omega(q) $の1階および2階微分が同時に消失する高次うねり点を含む分散曲線を正確に設計可能である。
• 時間領域におけるシミュレーションにより、うねり点に中心を置いた波パケットが、群速度がゼロ（非伝搬）かつ群速度分散がゼロ（非広がり）であるため、極めて局在的であることが確認された。
• 二重バンド系においても、逆設計プロトコルは、わずか$ N = 20 $種類の非局所スプリングを用いても、低NRMSDで目標分散曲線を正確に再現可能である。
• 目標分散曲線を調整することにより、任意の周波数および波長で局在モード（平坦バンド）と伝搬モードを同時に設計可能である。
• 本フレームワークは、連続体および高次元系へと拡張可能であり、バイブロエラスティックメタマテリアルにおける微小モジュラスカーネルの設計にホモジゼーションを応用する可能性を有する。