[論文レビュー] Non-Locality of Equivariant Star Products on $T*(RP^n)$

Ranee Brylinski|ArXiv.org|Oct 27, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、実射影空間 $T^*(\mathbb{RP}^n)$ の等長的スター積の非局所性を調査し、$\lambda = \frac{1}{2}$ および $n$ が奇数のとき、スター積 $\star_\lambda$ の係数 $C_p^\lambda(\cdot,\cdot)$ の明示的公式を導出する。これらの係数は、オイラーベクトル場項の逆数を含む非微分作用素を含み、$\mathbb{CP}^n$ 上の新しい $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変な双微分作用素 $Z_p$ を用いて表現される。$C_p^\lambda$ が $\lambda = \frac{1}{2}$、$p=1$ を除いて双微分でないことは、$(E + r)^{-1}$ 項の存在により示される。

ABSTRACT

Lecomte and Ovsienko constructed $SL_{n+1}(R)$-equivariant quantization maps $Q_λ$ for symbols of differential operators on $λ$-densities on $\RP^n$. We derive some formulas for the associated graded equivariant star products $star_λ$ on the symbol algebra $Pol(T*\RP^n)$. These give some measure of the failure of locality. Our main result expresses (for $n$ odd) the coefficients $C_p$ of $star_λ$ when $λ=\half$ in terms of some new $SL_{n+1}(C)$-invariant algebraic bidifferential operators $Z_p$ on $T*\CP^n$ and the operators $(E+\frac{n}{2}\pm s)^{-1}$ where $E$ is the fiberwise Euler vector field and $s\in\{1,2,...,[\frac{p}{2}]\}$.

研究の動機と目的

• Lecomte-Ovsienko の量子化写像から生じる符号代数 $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{RP}^n)$ 上の等長的スター積 $\star_\lambda$ の構造を分析すること。
• 特に $\lambda = \frac{1}{2}$ および $p \geq 2$ のとき、これらのスター積の係数 $C_p^\lambda(\cdot,\cdot)$ が局所的でない理由、すなわち双微分でない理由を理解すること。
• $\lambda = \frac{1}{2}$ および奇数の $n$ のとき、$C_p^\lambda$ の非局所構造を記述する新しい $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変な代数的双微分作用素 $Z_p$ を $T^*\mathbb{CP}^n$ 上に構成・特徴づけること。
• $C_p^\lambda(\phi,\psi)$ を $Z_p$ および逆オイラー作用素 $(E + \frac{n}{2} \pm s)^{-1}$ を用いて明示的な公式で表すことで、非局所性の代数的起源を特定すること。

提案手法

• Lecomte-Ovsienko の $SL_{n+1}(\mathbb{R})$-等長的量子化写像 $\mathcal{Q}_\lambda$ の公式を用い、[L-O, §4.5] の結果を基に、係数 $C_p^\lambda(\phi,\psi)$ を計算する。
• $T^*\mathbb{RP}^n$ 上のファイバー方向のオイラーベクトル場 $E$ を導入し、その逆 $E + r$ が係数に現れることで非局所性が生じることを分析する。
• 実ダーブル座標の解析的接続と複素化を用いて、$T^*\mathbb{CP}^n$ 上の新しい $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変な双微分作用素 $Z_p(\phi,\psi)$ を構成する。
• $\lambda = \frac{1}{2}$、$n$ が奇数のとき、$C_p^\lambda(\phi,\psi) = \frac{1}{\prod_{s=1}^{[p/2]} (E' + s)(E' - s + p - d)} Z_p(S_p^{-1}\phi, S_p^{-1}\psi)$ の関係を用い、$C_p^\lambda$ を $Z_p$ および逆オイラー作用素で表現する。
• $Z_p$ の $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変性を用いて、作用素を代数的に $T^*\mathbb{CP}^n$ 上に拡張し、全域的かつ正しく定義されることを保証する。
• 運動量関数 $\mu^x$ 及びその量子化を用いて、$C_2(\mu^x, \psi)$ の明示的公式を導出し、$1/(E'(E'+1))$ および4次微分作用素 $L^x$ を含むことが判明し、非局所性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ $\lambda = \frac{1}{2}$ および $p \geq 2$ のとき、スター積 $\star_\lambda$ の係数 $C_p^\lambda(\cdot,\cdot)$ は双微分でないのか？
• RQ2 非局所項 $C_p^\lambda(\phi,\psi)$ の代数的構造は何か？ そして、それを体系的に記述する方法は？
• RQ3 $\lambda = \frac{1}{2}$ および奇数の $n$ のとき、$C_p^\lambda(\phi,\psi)$ は $\mathbb{CP}^n$ 上の $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変な双微分作用素で表現可能か？
• RQ4 逆オイラー作用素 $(E + r)^{-1}$ は $C_p^\lambda$ の非局所性にどのように寄与し、スター積構造において果たす役割は何か？
• RQ5 $\lambda = \frac{1}{2}$ のとき、$C_p^\lambda$ の非局所部分を記述する双微分作用素 $Z_p$ を一意的に構成する標準的な方法はあるか？ また、その総次数は何か？

主な発見

• 係数 $C_p^\lambda(\cdot,\cdot)$ は、$\lambda = \frac{1}{2}$ および $p \geq 2$ のとき、逆オイラー作用素 $(E + r)^{-1}$ の存在により非局所的であり、双微分ではない。
• $\lambda = \frac{1}{2}$ および奇数の $n$ のとき、係数 $C_p^\lambda(\phi,\psi)$ は $C_p^\lambda(\phi,\psi) = \frac{1}{\prod_{s=1}^{[p/2]} (E' + s)(E' - s + p - d)} Z_p(S_p^{-1}\phi, S_p^{-1}\psi)$ と表現され、$Z_p$ は総次数 $-p$ の新しい $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変な双微分作用素である。
• $Z_2(\phi,\psi)$ は明示的に計算され、4次微分作用素であることが示された。$\phi = \mu^x$ のとき、$C_2(\mu^x, \psi) = \frac{1}{E'(E'+1)} L^x(\psi)$ であり、$L^x$ は4次で、$n \geq 2$ のとき $E' + c$ の形の左因子を含まないため、非局所性が証明される。
• $L^x$ は $T^*\mathbb{CP}^n$ 上に一意に拡張可能な代数的微分作用素であり、$n \geq 2$ のとき次数は4、$n=1$ のときは異なる形で次数3である。
• $\phi \in \mathcal{A}^d$ のとき、公式 $C_p^\lambda(\phi,\psi) = \frac{1}{\prod_{i=1}^{[p/2]} (E' + i)(E' - i + p - d)} L_p^\phi(\psi)$ が成り立ち、$L_p^\phi$ は微分作用素であり、$\phi \in \mathcal{R}$（運動量関数で生成される代数）のとき $L_p^\phi$ は代数的である。
• $Z_p$ の複素化および $SL_{n+1}(\mathbb{C})$-不変性による構成により、$Z_p$ はポissonテンソルのべきではないことが保証される。これは、その総次数がその解釈に不適切であるほど大きいためである。