[論文レビュー] Non-Malleable Extractors and Non-Malleable Codes: Partially Optimal Constructions

Xin Li|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2018

Cryptography and Data Security被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、新たな技術を用いて、非マネージャブル抽出器および非マネージャブル符号の部分最適構成を提示している。これらは、エントロピー要件と符号レートを顕著に改善する。2分割状態モデルにおける最初の定数レート非マネージャブル符号を達成し、2ラウンドプライバシー拡張における最適なエントロピー損失を達成する。これは、擬似ランダム性および符号理論分野における長年の未解決問題を前進させる。

ABSTRACT

The recent line of study on randomness extractors has been a great success, resulting in exciting new techniques, new connections, and breakthroughs to long standing open problems in several seemingly different topics. These include seeded non-malleable extractors, privacy amplification protocols with an active adversary, independent source extractors (and explicit Ramsey graphs), and non-malleable codes in the split state model. However, in all cases there is still a gap to optimum and the motivation to close this gap remains strong. In this paper, we introduce a set of new techniques to further push the frontier in the above questions. Our techniques lead to improvements in all of the above questions, and in several cases partially optimal constructions. Specifically, we obtain: 1. A seeded non-malleable extractor with seed length $O(log n)+log^{1+o(1)}(1/\\epsilon) and entropy requirement O(log log n+log(1/\\epsilon)), where the entropy requirement is asymptotically optimal by a recent result of Gur and Shinkar \\cite{GurS17}; 2. A two-round privacy amplification protocol with optimal entropy loss for security parameter up to \\Omega(k), which solves the privacy amplification problem completely; 3. A two-source extractor for entropy O(\\frac{log n log log n}{log log log n}), which also gives an explicit Ramsey graph on N vertices with no clique or independent set of size (log N)^{O(\\frac{log log log N}{log log log log N})}; and 4. The first explicit non-malleable code in the 2-split state model with \\emph{constant} rate, which has been a major goal in the study of non-malleable codes for quite some time. One small caveat is that the error of this code is only (an arbitrarily small) constant, but we can also achieve negligible error with rate \\Omega(log log log n/log log n), which already improves the rate in \\cite{Li17} exponentially.

研究の動機と目的

• 非マネージャブル抽出器および非マネージャブル符号における既存の構成と最適パラメータの間の残りのギャップを埋めること。
• セキュリティパラメータが Ω(k) までにまで最適なエントロピー損失を達成するプライバシー拡張問題を解決すること。
• 2分割状態モデルにおける最初の明示的非マネージャブル符号を定数レートで構築すること。
• 2ソース抽出器におけるエントロピー要件を理論的最小値に近づけ、非マネージャブル符号における誤差制御を改善すること。
• これらの設定で完全最適構成に至る新たな技術を開発すること。

提案手法

• 誤りを別個に取り扱い、再帰的マージャ構成を用いることで、非マネージャブル抽出器に対する新しいアプローチを導入する。
• nm ビット上の ε-バイアスサンプル空間を用い、必要なランク条件を満たす確率が非常に高いバイナリ線形符号を生成する。
• 初期の構成ではリード＝ソロモン符号を用い、後にバイナリ線形符号に置き換えることで、より良い誤差境界を達成する。
• 存在性を示すために確率的技法を用い、選択された列と行からなる部分行列に対して、列がフルランクを示す生成行列の存在を示す。
• 非マネージャブル2ソース抽出器と非マネージャブル符号構成を組み合わせることで、高レートかつ無視できる誤差を達成する。
• XOR補題とユニオンバウンドを用い、行列ランクおよびバイアス性質における失敗確率を低く保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーデッド非マネージャブル抽出器を、漸近的に最適なエントロピー要件で構築可能か？
• RQ2 2ラウンドプライバシー拡張プロトコルは、セキュリティパラメータが Ω(k) までに最適なエントロピー損失を達成可能か？
• RQ3 2分割状態モデルにおける定数レートの非マネージャブル符号を構築可能か？
• RQ4 2ソース抽出器におけるエントロピー要件を理論的最小値に近づけられるか？
• RQ5 高レートを維持したまま、非マネージャブル符号における誤差制御を定数誤差を超えて改善可能か？

主な発見

• シード長 O(log n) + log^{1+o(1)}(1/ε) およびエントロピー要件 O(log log n + log(1/ε)) を満たすシーデッド非マネージャブル抽出器が構築され、GurとShinkar (2018) が示した漸近的下界と一致する。
• セキュリティパラメータが Ω(k) までにまで最適なエントロピー損失を達成する2ラウンドプライバシー拡張プロトコルが実現され、問題が完全に解決された。
• エントロピー O(log n log log n / log log log n) を要する2ソース抽出器が構築され、これにより、サイズ (log N)^{O(log log log N / log log log log N)} のクリークや独立集合を含まない明示的ラマージュグラフが得られる。
• 2分割状態モデルにおける最初の明示的非マネージャブル符号が定数レートで構築され、レート Ω(log log log n / log log n) で無視できる誤差が達成可能である。
• 生成行列が部分行列に対してフルカラムランクを保証するバイナリ線形符号が使用され、高レート・低誤差符号を実現する。
• 最終的な非マネージャブル符号の誤差は ε で抑えられ、無視できる誤差に対してレート Ω(log log log(1/ε) / log log(1/ε)) を達成し、先行研究と比べて指数的に改善されている。