[論文レビュー] Non-monotone submodular maximization under matroid and knapsack constraints

Jon Lee, Vahab Mirrokni+2 more|ArXiv.org|Feb 2, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用数 114

ひとこと要約

本稿では、複数のマトロイドおよびナップサック制約の下で非単調なサブモジュラ関数を最大化するための、最初の定数要因近似アルゴリズムを提示する。一般化された交換操作と確率的丸めを備えた新規なローカルサーチフレームワークを導入し、$k$ 個のパーティションマトロイドに対して $\left(\frac{1}{k+1+\frac{1}{k-1}+\epsilon}\right)$-近似、$k$ 個のナップサック制約に対して $\left(\frac{1}{5}-\epsilon\right)$-近似を達成し、単調関数の場合にはより良い上限を得た。

ABSTRACT

Submodular function maximization is a central problem in combinatorial optimization, generalizing many important problems including Max Cut in directed/undirected graphs and in hypergraphs, certain constraint satisfaction problems, maximum entropy sampling, and maximum facility location problems. Unlike submodular minimization, submodular maximization is NP-hard. For the problem of maximizing a non-monotone submodular function, Feige, Mirrokni, and Vondrák recently developed a $2\over 5$-approximation algorithm \cite{FMV07}, however, their algorithms do not handle side constraints.} In this paper, we give the first constant-factor approximation algorithm for maximizing any non-negative submodular function subject to multiple matroid or knapsack constraints. We emphasize that our results are for {\em non-monotone} submodular functions. In particular, for any constant $k$, we present a $({1\over k+2+{1\over k}+ε})$-approximation for the submodular maximization problem under $k$ matroid constraints, and a $({1\over 5}-ε)$-approximation algorithm for this problem subject to $k$ knapsack constraints ($ε>0$ is any constant). We improve the approximation guarantee of our algorithm to ${1\over k+1+{1\over k-1}+ε}$ for $k\ge 2$ partition matroid constraints. This idea also gives a $({1\over k+ε})$-approximation for maximizing a {\em monotone} submodular function subject to $k\ge 2$ partition matroids, which improves over the previously best known guarantee of $\frac{1}{k+1}$.

研究の動機と目的

• 非単調サブモジュラ最大化問題に対して、複数のマトロイドおよびナップサック制約の下で最初の定数要因近似アルゴリズムを開発すること。
• Max Cut や最大施設配置問題といったNP困難な問題を一般化するサブモジュラ関数の非単調性という課題に取り組むこと。
• 特にパーティションマトロイドおよびナップサック制約の下で、先行研究を上回る近似保証を向上させること。
• 最大エントロピーサンプリングや最適実験設計といった問題に対して、証明可能な近似保証を提供すること。

提案手法

• 標準的な1要素交換を超えて、$p$ 個の新しい要素を含める一方で最大 $(k-1)\cdot p$ 個の要素を削除することを許容する一般化されたローカルサーチアルゴリズムを導入する。
• 複数のパラメータマトロイドからの交換写像に基づくマルチグラフ構築を用いて、実行可能解の構造的性質を分析する。
• 軽量要素のための分数解に対する確率的丸め手順を用い、ナップサック制約下で $\left(\frac{1}{4}-\epsilon\right)$-近似を達成する。
• 重い要素の列挙と軽量要素の確率的丸めを組み合わせることで、$k$ 個のナップサック制約下で $\left(\frac{1}{5}-\epsilon\right)$-近似を達成する。
• マルチグラフにおけるパス／サイクル分解を用いた強化された交換補題を適用し、鍵となる不等式 $k\cdot f(S) \geq \left(1-\frac{1}{p}\right)\cdot f(S\cup C) + (k-1)\cdot f(S\cap C)$ を導出する。
• ジャン・ヴォンドラックによる補題2の簡略化された証明を活用し、ローカルサーチ解析の理論的基盤を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単調サブモジュラ最大化問題に対して、$k$ 個のマトロイド制約の下で定数要因近似が達成可能か？
• RQ2 非単調サブモジュラ最大化問題に対して、$k$ 個のナップサック制約の下で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 パラメータマトロイド制約の特別な場合において、近似保証を向上させることは可能か？
• RQ4 複数要素交換を許容する一般化されたローカルサーチは、サブモジュラ最適化における標準的なローカルサーチをどのように改善するか？

主な発見

• 本稿では、$k$ 個のマトロイド制約の下で $\left(\frac{1}{k+2+\frac{1}{k}+\epsilon}\right)$-近似を達成し、この設定における最初の定数要因保証を提供した。
• $k$ 個のナップサック制約の下では、$\left(\frac{1}{5}-\epsilon\right)$-近似を達成し、この問題クラスにおける最初の定数要因結果となった。
• パラメータマトロイド制約の下では、近似比が $\left(\frac{1}{k+1+\frac{1}{k-1}+\epsilon}\right)$ に向上し、先行研究の上限を著しく改善した。
• $k$ 個のパラメータマトロイド下での単調サブモジュラ関数に対しては、$\left(\frac{1}{k+\epsilon}\right)$-近似を達成し、以前の最良の $\frac{1}{k+1}$ よりも向上した。
• 重い要素の列挙と軽量要素の確率的丸めの組み合わせにより、ナップサック制約下で近似品質が保証された。
• 理論的分析は、新規なマルチグラフに基づく交換論法と、$f(S\cup C)$ と $f(S\cap C)$ を含む強化された不等式に依存しており、より緊密な上限を可能にした。