[論文レビュー] Non-negative curvature obstructions in cohomogeneity one and the Kervaire spheres

Karsten Grove, Burkhard Wilking+2 more|ArXiv.org|Jan 31, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$n \geq 4$、$d \geq 3$ の場合のBrieskorn多様体 $M^{2n-1}_d$ を含む、特定の共型度1多様体が、特異軌道の余次元が2であるにもかかわらず、非負の断面曲率を持つ不変計量をもたないことを確立している。表現論的障害と同次空間バンドル上の曲率解析を用いて、固定小群表現が法ベクトルの球面上に推移的に作用しない場合には、非負曲率が成立しないことを証明しており、これはすべての共型度1多様体がこのような計量を持つという予想に反する。

ABSTRACT

In contrast to the homogeneous case, we show that there are compact cohomogeneity one manifolds, that do not support invariant metrics of non-negative sectional curvature. In fact we exhibit infinite families of such manifolds including the exotic Kervaire spheres. Such examples exist for any codimension of the singular orbits except for the case where both are equal to two, where existence of non-negatively curved metrics is known.

研究の動機と目的

• 先行研究で提起された予想に従い、すべての共型度1多様体が非負の断面曲率を持つ不変計量をもつかどうかを調査すること。
• 特異軌道の余次元が2より大きい場合に、共型度1作用における非負曲率のグローバル障害を同定すること。
• 非負曲率を持つ不変計量をもたない共型度1多様体の無限族を構成すること。
• Kervaire球面がBrieskorn多様体として実現される場合、$n \geq 4$、$d \geq 3$ のとき、それらがこのような計量をもたないことを解明すること。

提案手法

• Brieskorn多様体 $M^{2n-1}_d \subset \mathbb{C}^{n+1}$ を定義する $z_0^d + \sum_{i=1}^n z_i^2 = 0$ および $\sum |z_i|^2 = 1$ における $\mathrm{SO}(2) \times \mathrm{SO}(n)$ の共型度1作用を分析する。
• 計量構造を軌道空間 $[0, t_0]$ でモデル化し、固定小群表現を用いて法バンドルの幾何を研究する。
• 法バンドルに曲率条件を適用し、非負曲率が主軌道に沿ってノルム関数 $h(t)$ の下に凸性を要求することを導出する。ここで $h(0) = 1$、$h'(0) = 0$、$h(t) \leq 1$ である。
• 可換生成子を持つ2平面 $A = X_1 + Y_2$、$B = X_2 + Y_1$ を導入し、リーマン曲率テンソル $R(A,B,B,A)$ を計算することで、$\delta = 1 - h^2$ および内積 $Q([Y_2,X_2] - [X_1,Y_1], P_t^{-1}([Y_2,X_2] - [X_1,Y_1]))$ を含む曲率不等式を導出する。
• 表現論を用いて、$\mathsf{K}'/\mathsf{H}'$ が $\mathbb{S}^{k-1}$ 上に推移的に作用しない場合には、$\delta(t)$ が必要な曲率境界を満たせないことが示され、矛盾が生じることを証明する。
• $\mathrm{SO}(\ell)$ の非自明な調和多項式の次数 $m \geq 2$ における既約表現 $\mu_m$ を用いて、共型度1多様体の無限族を構成し、$\ell \geq 3$ のとき非負曲率をもたないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての共型度1多様体が、[GZ1] で提起されたように、非負の断面曲率を持つ不変計量をもつか。
• RQ2 $n \geq 4$、$d \geq 3$ の場合のBrieskorn多様体 $M^{2n-1}_d$ は、非負曲率を持つ不変計量をもつか。
• RQ3 特異軌道の余次元が $\geq 3$ である共型度1多様体において、非負曲率を妨げるグローバル幾何的障害は何か。
• RQ4 固定小群表現が非負曲率をもたらさない条件は何か。

主な発見

• 定理Aは、$n \geq 4$ および $d \geq 3$ のとき、Brieskorn多様体 $M^{2n-1}_d$ は $\mathrm{SO}(2) \times \mathrm{SO}(n)$-不変計量をもたず、非負の断面曲率をもたないことを確立する。
• $n = 4$ のとき、$\mathrm{SO}(4)$ 内の $\mathrm{SU}(2)$ 部分群は $M^7_d$ 上で自由に作用し、商は $\mathbb{S}^4$ であるが、元の多様体は依然として非負曲率をもたない。
• 定理Bは、$(\ell_-, \ell_+) \neq (2,2)$ かつ $\ell_\pm \geq 2$ である任意のペアに対して、特異軌道の余次元が $\ell_\pm$ である共型度1多様体の無限族が存在し、それらは非負曲率を持つ不変計量をもたないことを証明する。
• 補題3.4は、すべての $\ell \geq 3$、$m \geq 2$ に対して、$\mathrm{SO}(\ell)$ の次数$m$の調和多項式への表現 $\mu_m$ を用いて、このような障害を構成し、余次元 $\geq 3$ の無限族を提供する。
• 障害は、固定小群表現が法ベクトルの球面上に推移的に作用しない場合に生じ、関数 $\delta(t) = 1 - h(t)^2$ 及びその導関数を用いた曲率境界の矛盾によって生じる。
• 結果として、非負曲率の障害はグローバルなものであることが示され、各半分（特異軌道上のディスクバンドル）は個別に非負曲率をもつが、全体の多様体はそうではない。